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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer module et argument de ei.θ+ei.θ′\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} . \theta^{\prime}} pour θ,θ′∈R\theta, \theta^{\prime} \in \mathbb{R}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifier eiθ−1eiθ+1\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+1}
pour θ∈]−π;π[\left.\theta \in\right]-\pi ; \pi[.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit Z∈C∗Z \in \mathbb{C}^{*}.
Résoudre l'équation ez=Z\mathrm{e}^{z}=Z d'inconnue z∈Cz \in \mathbb{C}.
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Maths
Analyse
Difficulté 5
Montrer que

sin⁡(π5)=5−58 \sin \left(\frac{\pi}{5}\right)=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soient n∈N,n≥2n \in \mathbb{N}, n \geq 2 et ω=exp⁡(2iπ/n)\omega=\exp (2 \mathrm{i} \pi / n).
(a) Établir que pour tout z∈C,z≠1z \in \mathbb{C}, z \neq 1,
∏k=1n−1(z−ωk)=∑ℓ=0n−1zℓ\prod_{k=1}^{n-1}\left(z-\omega^{k}\right)=\sum_{\ell=0}^{n-1} z^{\ell}
(b) Justifier que l'égalité reste valable pour z=1z=1.
(c) En déduire l'égalité
∏k=1n−1sin⁡kπn=n2n−1\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k \pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit ω=ei2π7\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{7}}.
Calculer les nombres :
A=ω+ω2+ω4A=\omega+\omega^{2}+\omega^{4} et B=ω3+ω5+ω6B=\omega^{3}+\omega^{5}+\omega^{6}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. Résoudre l'équation(z+1)n=(z−1)n. (z+1)^{n}=(z-1)^{n} \text {. } Combien y a-t-il de solutions?
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Simplifier :
(a) j(j+1)j(j+1)
(b) jj2+1\frac{j}{j^{2}+1}
(c) j+1j−1\frac{j+1}{j-1}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit ω\omega une racine nème de l'unité différente de 1 . On pose S=∑k=0n−1(k+1)ωkS=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1) \omega^{k} En calculant (1−ω)S(1-\omega) S, déterminer la valeur de SS.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient n≥3,ω1,…,ωnn \geq 3, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n} les racines nn-ième de l'unité avec ωn=1\omega_{n}=1.
(a) Calculer pour p∈Zp \in \mathbb{Z}
Sp=∑i=1nωipS_{p}=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i}^{p}
(b) Calculer
T=∑i=1n−111−ωiT=\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{1-\omega_{i}}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
On note UnU_{n} l'ensemble des racines nn-ème de l'unité.
Calculer∑z∈Un∣z−1∣\sum_{z \in U_{n}}|z-1|
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Résoudre l'équation ∣z+1∣=∣z∣+1|z+1|=|z|+1
d'inconnue z∈Cz \in \mathbb{C}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit f:C→Cf: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par f(z)=z+∣z∣2f(z)=\frac{z+|z|}{2}
Déterminer les valeurs prises par ff.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
(a) Vérifier∀z1,z2∈C,∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2∣z1∣2+2∣z2∣2\forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C},\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}=2\left|z_{1}\right|^{2}+2\left|z_{2}\right|^{2}
(b)On suppose z1,z2∈Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} tels que ∣z1∣≤1\left|z_{1}\right| \leq 1 et ∣z2∣≤1\left|z_{2}\right| \leq 1. Montrer qu'il existe ε=1\varepsilon=1 ou -1 tel que∣z1+εz2∣≤2\left|z_{1}+\varepsilon z_{2}\right| \leq \sqrt{2}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit a∈Ca \in \mathbb{C} tel que ∣a∣<1|a|<1.
Déterminer l'ensemble des complexes zz tels que∣z−a1−aˉz∣≤1\left|\frac{z-a}{1-\bar{a} z}\right| \leq 1
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Établir :∀z,z′∈C,∣z∣+∣z′∣≤∣z+z′∣+∣z−z′∣\forall z, z^{\prime} \in \mathbb{C},|z|+\left|z^{\prime}\right| \leq\left|z+z^{\prime}\right|+\left|z-z^{\prime}\right|
Interprétation géométrique et précision du cas d'égalité?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient z∈C∗z \in \mathbb{C}^{*} et z′∈Cz^{\prime} \in \mathbb{C}. Montrer
∣z+z′∣=∣z∣+∣z′∣⟺∃λ∈R+,z′=λ.z.\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}_{+}, z^{\prime}=\lambda . z .
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer module et argument de
z=2+2+i2−2z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}
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