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Maths
Analyse
Difficulté 4
Établir :
∀x∈R,\forall x \in \mathbb{R}, ∣arctan⁡(sh⁡x)∣=arccos⁡(1ch⁡x)|\arctan (\operatorname{sh} x)| = \arccos \left(\frac{1}{\operatorname{ch} x}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit aa et α\alpha deux réels.
Résoudre le système d'inconnues xx et yy {ch⁡x+ch⁡y=2ach⁡αsh⁡x+sh⁡y=2ash⁡α\left\{\begin{array}{l}\ch x+\ch y=2 a \ch \alpha \\ \sh x+\sh y=2 a \sh \alpha \end{array}\right.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Pour n∈Nn \in \mathbb{N} et x∈R+∗x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, observer
th⁡((n+1)x)−th⁡(nx)=sh⁡xch⁡(nx)ch⁡((n+1)x)\operatorname{th}((n+1) x)-\operatorname{th}(n x)=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}(n x) \operatorname{ch}((n+1) x)}
Calculer
Sn(x)=∑k=0n1ch⁡(kx)ch⁡((k+1)x)S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\operatorname{ch}(k x) \operatorname{ch}((k+1) x)}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Pour n∈Nn \in \mathbb{N} et x∈Rx \in \mathbb{R}, simplifier Pn(x)=∏k=1nch⁡(x2k)P_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n} \operatorname{ch}\left(\frac{x}{2^{k}}\right)
en calculant Pn(x)sh⁡(x2n)P_{n}(x) \operatorname{sh}\left(\frac{x}{2^{n}}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit y∈]−π2;π2[y \in]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\left[\right..
On pose x=ln⁡(tan⁡(y2+π4))x=\ln \left(\tan \left(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right). Montrer que
a) th x2=tan⁡y2\frac{x}{2}=\tan \frac{y}{2},
b) th⁡x=sin⁡y\operatorname{th} x=\sin y
c) ch⁡x=1cos⁡y\operatorname{ch} x=\frac{1}{\cos y}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Établir que pour tout x∈R+x \in \mathbb{R}_{+}, on a sh⁡x≥x\operatorname{sh} x \geq x
et pour tout x∈R,ch⁡x≥1+x22x \in \mathbb{R}, \operatorname{ch} x \geq 1+\frac{x^{2}}{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Résoudre le système {a+b+c=0ea+eb+ec=3 \left\{\begin{array}{r}a+b+c=0 \\ \mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}+\mathrm{e}^{c}=3\end{array}\right. d'inconnue (a,b,c)∈R3(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Résoudre les systèmes suivants :
(a) {8x=10y2x=5y\left\{\begin{array}{l}8^{x}=10 y \\ 2^{x}=5 y\end{array}\right.

(b) {exe2y=a2xy=1\left\{\begin{aligned} \mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{2 y} & =a \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Résoudre les équations suivantes :
(a) ex+e1−x=e+1\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{1-x}=\mathrm{e}+1
(b) xx=(x)xx^{\sqrt{x}}=(\sqrt{x})^{x}
(c) 22x−3x−1/2=3x+1/2−22x−12^{2 x}-3^{x-1 / 2}=3^{x+1 / 2}-2^{2 x-1}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Déterminer les limites suivantes :
(a) lim⁡x→+∞x1/x\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{1 / x}
(b) lim⁡x→0xx\lim _{x \rightarrow 0} x^{\sqrt{x}}
(c) lim⁡x→0+x1/x\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{1 / x}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Comparer
lim⁡x→0+x(xx)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\left(x^{x}\right)}
et lim⁡x→0+(xx)x\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{x}\right)^{x}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes :

(a) (ab)c=abc(a) \ \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b c}
(b) abac=abc(b) \ a^{b} a^{c}=a^{b c}
(c) a2b=(ab)2(c) \ a^{2 b}=\left(a^{b}\right)^{2}
(d) (ab)c=ac/2bc/2(d) \ (a b)^{c}=a^{c / 2} b^{c / 2}
(e) (ab)c=a(bc)(e) \ \left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)}
(f) (ab)c=(ac)b(f) \ \left(a^{b}\right)^{c}=\left(a^{c}\right)^{b}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Simplifier aba^{b} pour a=exp⁡x2a=\exp x^{2}
et b=1xln⁡x1/xb=\frac{1}{x} \ln x^{1 / x}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Lemme de Gibbs
(a) Justifier : ∀x>0,ln⁡x≤x−1\forall x>0, \ln x \leq x-1

(b) Soient (p1,…,pn)\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right) et (q1,…,qn)\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right) des nn-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant ∑k=1npk=∑k=1nqk=1\sum_{k=1}^{n} p_{k}=\sum_{k=1}^{n} q_{k}=1 Établir ∑i=1npiln⁡qi≤∑i=1npiln⁡pi\sum_{i=1}^{n} p_{i} \ln q_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} p_{i} \ln p_{i}
Dans quel(s) cas y a-t-il égalité?
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale d'un entier n>0n>0 est ⌊log⁡10n⌋+1\left\lfloor\log _{10} n\right\rfloor+1.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit 0<a≤b0<a \leq b.
On pose f:x↦ln⁡(1+ax)ln⁡(1+bx)f: x \mapsto \frac{\ln (1+a x)}{\ln (1+b x)} définie sur R+∗\mathbb{R}_{+}^{*}.
Étudier la monotonie de ff et en déduire que ln⁡(1+ab)ln⁡(1+ba)≤(ln⁡2)2\ln \left(1+\frac{a}{b}\right) \ln \left(1+\frac{b}{a}\right) \leq(\ln 2)^{2}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer que pour tout a,b>0a, b>0
12(ln⁡a+ln⁡b)≤ln⁡a+b2\frac{1}{2}(\ln a+\ln b) \leq \ln \frac{a+b}{2}
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Maths
Analyse
Difficulté 2

(a) Montrer que, pour tout x>−1x>-1, ln⁡(1+x)≤x\ln (1+x) \leq x
(b) En déduire que pour tout n∈N\{0,1}n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, (1+1n)n≤e≤(1−1n)−n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \mathrm{e} \leq\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Établir, pour tout x≥0x \geq 0,
l'encadrementx−12x2≤ln⁡(1+x)≤xx-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x
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