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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
(a) Montrer qu'il existe (an,bn)∈N∗2\left(a_{n}, b_{n}\right) \in \mathbb{N}^{* 2} tel que
(2+3)n=an+bn3 et 3bn2=an2−1.(2+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{3} \text { et } 3 b_{n}^{2}=a_{n}^{2}-1 .
(b) Montrer que la partie entière de (2+3)n(2+\sqrt{3})^{n} est un entier impair.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit a≤b∈Ra \leq b \in \mathbb{R}.
Établir
Card⁡([a;b]∩Z)=⌊b⌋+⌊1−a⌋\operatorname{Card}([a ; b] \cap \mathbb{Z})=\lfloor b\rfloor+\lfloor 1-a\rfloor
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer que
∀x∈R,∀n∈N∗,∑k=0n−1⌊x+kn⌋=⌊nx⌋\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor n x\rfloor
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer
∀x,y∈R,\forall x, y \in \mathbb{R},
⌊x⌋+⌊x+y⌋+⌊y⌋≤⌊2x⌋+⌊2y⌋\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 2 y\rfloor
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient n≥2,a1,…,ann \geq 2, a_{1}, \ldots, a_{n} des réels et b1,…,bnb_{1}, \ldots, b_{n} des réels strictement positifs.
Montrer
min⁡{a1b1,…,anbn}≤a1+⋯+anb1+⋯+bn≤max⁡{a1b1,…,anbn}\min \left\{\frac{a_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}}\right\} \leq \frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}} \leq \max \left\{\frac{a_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue xx réelle :
(a) 1x≤12\frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}
(c) 3+x−1<x3+\sqrt{x-1}<x
(b) 2x−1x+2≤1\frac{2 x-1}{x+2} \leq 1
(d) ∣2x−1∣+∣x−3∣≥7|2 x-1|+|x-3| \geq 7
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient xx et yy deux réels de l'intervalle [0;1][0 ; 1].
Montrer
min⁡{xy,(1−x)(1−y)}≤14\min \{x y,(1-x)(1-y)\} \leq \frac{1}{4}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soient (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) et (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) deux suites réelles monotones.
Comparer
(1n∑k=1nxk)(1n∑k=1nyk) et 1n∑k=1nxkyk\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} y_{k}\right) \text { et } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer tous les couples (α,β)∈(R+∗)2(\alpha, \beta) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2} pour lesquels il existe M∈RM \in \mathbb{R} tel que
∀x,y>0,xαyβ≤M(x+y)\forall x, y>0, x^{\alpha} y^{\beta} \leq M(x+y)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Montrer
∀u,v≥0, 1+uv≤1+u1+v.\forall u, v \geq 0, \text{ }1+\sqrt{u v} \leq \sqrt{1+u} \sqrt{1+v} .
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient x,y∈[0;1]x, y \in[0 ; 1].
Montrer
x2+y2−xy≤1x^{2}+y^{2}-x y \leq 1
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} des réels.
On suppose∑k=1nxk=∑k=1nxk2=n\sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=n
Montrer que les réels x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} sont tous égaux à 1 .
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une application telle que :∀(x,y)∈R2,f(x+y)=f(x)+f(y)∀(x,y)∈R2,f(xy)=f(x)f(y)∃x∈R,f(x)≠0\begin{aligned}& \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\& \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x y)=f(x) f(y) \\& \quad \exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0\end{aligned} (a)(a) Calculer f(0),f(1)f(0), f(1) et f(−1)f(-1).
(b)(b) Déterminer f(x)f(x) pour x∈Zx \in \mathbb{Z} puis pour x∈Qx \in \mathbb{Q}.
(c)(c) Démontrer que ∀x≥0,f(x)≥0\forall x \geq 0, f(x) \geq 0. En déduire que ff est croissante.
(d)(d) Conclure que f=Id⁡Rf=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer que 2+33\sqrt{2}+\sqrt[3]{3} est un nombre irrationnel.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
(Irrationalité de er\mathrm{e}^{r} pour r∈Q∗r \in \mathbb{Q}^{*} )
(a) Pour a,b∈N∗a, b \in \mathbb{N}^{*}, montrer que la fonction polynomiale
Pn(x)=1n!xn(bx−a)nP_{n}(x)=\frac{1}{n !} x^{n}(b x-a)^{n}
et ses dérivées successives prennent en x=0x=0 des valeurs entières.
(b) Établir la même propriété en x=a/bx=a / b
(c) On pose r=a/br=a / b et pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}
In=∫0rPn(t)et dtI_{n}=\int_{0}^{r} P_{n}(t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t
Montrer que In→0I_{n} \rightarrow 0.
(d) En supposant er=p/q\mathrm{e}^{r}=p / q avec p,q∈N∗p, q \in \mathbb{N}^{*}, montrer que qIn∈Zq I_{n} \in \mathbb{Z}. Conclure.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Montrer que (23+418153)1/3+(23−418153)1/3\left(\frac{2}{3}+\frac{41}{81} \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{1 / 3}+\left(\frac{2}{3}-\frac{41}{81} \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{1 / 3} est un rationnel.
On conseille d'effectuer les calculs par ordinateur.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:Q→Qf: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} telle que ∀x,y∈Q,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{Q}, f(x+y)=f(x)+f(y)
(a) On suppose ff constante égale CC quelle est la valeur de CC ? On revient au cas général.
(b) Calculer f(0)f(0).
(c) Montrer que ∀x∈Q,f(−x)=−f(x)\forall x \in \mathbb{Q}, f(-x)=-f(x).
(d) Établir que ∀n∈N,∀x∈Q,f(nx)=nf(x)\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{Q}, f(n x)=n f(x) et généraliser cette propriété à n∈Zn \in \mathbb{Z}
(e) On pose a=f(1)a=f(1). Montrer que ∀x∈Q,f(x)=ax\forall x \in \mathbb{Q}, f(x)=a x.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Montrer que 2\sqrt{2} n'est pas un nombre rationnel
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