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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient a>0a>0 etun=(1+a)(1+a2)…(1+an)u_{n}=(1+a)\left(1+a^{2}\right) \ldots\left(1+a^{n}\right)
(a)(a) Montrer que si a≥1a \geq 1 alors un→+∞u_{n} \rightarrow+\infty.
(b)(b) On suppose 0<a<10<a<1. Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente.
On pourra exploiter la majoration 1+x≤ex1+x \leq \mathrm{e}^{x} valable pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
On poseun=1×3×5×⋯×(2n−1)2×4×6×⋯×(2n). u_{n}=\frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2 n)} \text {. } (a) Exprimer unu_{n} à l'aide de nombres factoriels.
(b) Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) converge.
(c) On posevn=(n+1)un2v_{n}=(n+1) u_{n}^{2}Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) converge. En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right)
(d) Simplifier∏k=22n(1−1k)\prod_{k=2}^{2 n}\left(1-\frac{1}{k}\right)et comparer ce produit à 2un22 u_{n}^{2}.
(e) En déduire que la limite CC de la suite (vn)\left(v_{n}\right) est strictement positive.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
(Somme harmonique) Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose
Hn=∑k=1n1kH_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
Montrer que
∀n∈N∗,H2n−Hn≥12\forall n \in \mathbb{N}^{*}, H_{2 n}-H_{n} \geq \frac{1}{2}
En déduire que lim⁡n→∞Hn=+∞\lim _{n \rightarrow \infty} H_{n}=+\infty.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite réelle convergente.
Étudier la limite de la suite vn=sup⁡p≥nupv_{n}=\sup _{p \geq n} u_{p}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite croissante de limite ℓ\ell. On pose vn=u1+⋯+unnv_{n}=\frac{u_{1}+\cdots+u_{n}}{n}
(a) Montrer que (vn)\left(v_{n}\right) est croissante.
(b) Établir que v2n≥un+vn2v_{2 n} \geq \frac{u_{n}+v_{n}}{2}.
(c) En déduire que vn→ℓv_{n} \rightarrow \ell.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite de réels strictement positifs. On supposeun+1un⟶n→+∞2.u_{n}+\frac{1}{u_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 2. \\ Étudier la limite de (un)\left(u_{n}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 4
(a) Soitun=∑k=1np1n+ku_{n}=\sum_{k=1}^{n p} \frac{1}{n+k}où p∈N∗p \in \mathbb{N}^{*} est fixé. Montrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) converge. Sa limite sera notée ℓ\ell (on ne demande pas ici de la calculer)\\
(b) Soit f:R+→Cf: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{C} de classe C1\mathcal{C}^{1} et telle que f(0)=0f(0)=0. Soitvn=∑k=1npf(1n+k)v_{n}=\sum_{k=1}^{n p} f\left(\frac{1}{n+k}\right)Montrer que (vn)\left(v_{n}\right) converge. Exprimer sa limite en fonction de ℓ\ell. \\
(c) Calculer ℓ\ell en utilisant f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln (1+x).\\
(d) Si ff de R+\mathbb{R}_{+}dans C\mathbb{C} est continue et vérifie f(0)=0f(0)=0, montrer qu'il peut y avoir divergence de la suite (vn)\left(v_{n}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 3
(a)(a) Établir que pour tout x≥0x \geq 0 on a
x−12x2≤ln⁡(1+x)≤xx-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x

(b) En déduire la limite de
un=∏k=1n(1+kn2)u_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)
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Maths
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Difficulté 4
Soient α>0\alpha>0 et\\ un=∑k=1n1nα+kαu_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{\alpha}+k^{\alpha}}\\ (a) Montrer que si α>1\alpha>1 alors un→0u_{n} \rightarrow 0 tandis que si α<1\alpha<1, un→+∞u_{n} \rightarrow+\infty.\\ (b) Montrer que si α=1\alpha=1, la suite est monotone et convergente.\\ (c) Toujours dans le cas α=1\alpha=1 et en exploitant l'encadrement ln⁡(1+x)≤x≤−ln⁡(1−x)\ln (1+x) \leq x \leq-\ln (1-x) valable pour tout x∈[0;1[x \in\left[0 ; 1\left[\right.\right., établir un→ln⁡2u_{n} \rightarrow \ln 2.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite d'entiers naturels deux à deux distincts.
Montrer que un→+∞u_{n} \rightarrow+\infty.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Étudier la convergence de la suite
(⌊an⌋1/n)\left(\left\lfloor a^{n}\right\rfloor^{1 / n}\right),
où a>0a>0.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Nature de la suite de terme général

un=cos⁡(πn2ln⁡(1−1/n))u_{n}=\cos \left(\pi n^{2} \ln (1-1 / n)\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit a∈Ra \in \mathbb{R} et pour n∈Nn \in \mathbb{N},\\ Pn=∏k=1ncos⁡a2kP_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{a}{2^{k}}\\ Montrer que\\ sin⁡(a2n)Pn=12nsin⁡(a)\sin \left(\frac{a}{2^{n}}\right) P_{n}=\frac{1}{2^{n}} \sin (a)\\ et déterminer lim⁡n→∞Pn\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étudier la convergence de deux suites réelles (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) vérifiant <br/><br/> lim⁡n→+∞(un+vn)=0\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)=0
 et \text { et }
lim⁡n→+∞(eun+evn)=2\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\mathrm{e}^{u_{n}}+\mathrm{e}^{v_{n}}\right)=2
$
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Maths
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Difficulté 4
Soit z∈Cz \in \mathbb{C} avec ∣z∣<1|z|<1.
Existence et calcul de
lim⁡n→+∞∏k=0n(1+z2k)\lim _{n \rightarrow+\infty} \prod_{k=0}^{n}\left(1+z^{2^{k}}\right)
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit p∈N\{0,1}p \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}. Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on pose
un=(n+pn)−1u_{n}=\left(\begin{array}{c}n+p \\n\end{array}\right)^{-1}
et Sn=∑k=1nukS_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}
(a) Montrer que
∀n∈N,(n+p+2)un+2=(n+2)un+1\forall n \in \mathbb{N},(n+p+2) u_{n+2}=(n+2) u_{n+1}
(b) Montrer par récurrence
Sn=1p−1(1−(n+p+1)un+1). S_{n}=\frac{1}{p-1}\left(1-(n+p+1) u_{n+1}\right) \text {. }
(c) On pose ∀n∈N∗vn=(n+p)un\forall n \in \mathbb{N}^{*} v_{n}=(n+p) u_{n}. Montrer que (vn)\left(v_{n}\right) converge vers 0 .
(d) En déduire lim⁡Sn\lim S_{n} en fonction de pp.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer la limite de
un=∑k=0n(nk)−1u_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)^{-1}
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Analyse
Difficulté 3
Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose
Sn=∑k=1n1n+kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
Sn′=∑k=1n(−1)k−1k S_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}
a) Établir que pour tout p>1p>1,
∫pp+1dxx≤1p≤∫p−1pdxx\int_{p}^{p+1} \frac{\mathrm{d} x}{x} \leq \frac{1}{p} \leq \int_{p-1}^{p} \frac{\mathrm{d} x}{x}
En déduire la limite de (Sn)\left(S_{n}\right).
b) Établir que S2n′=SnS_{2 n}^{\prime}=S_{n}.
En déduire la limite de (Sn′)\left(S_{n}^{\prime}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit (un)n∈N\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} une suite de réels strictement positifs. On supposeun+1un⟶n→+∞ℓ\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \ell (a) Montrer que si ℓ<1\ell<1 alors un⟶n→+∞0u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0.
(b) Montrer que si ℓ>1\ell>1 alors un⟶n→+∞+∞u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty.
(c) Observer que dans le cas ℓ=1\ell=1 on ne peut rien conclure.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites des sommes suivantes:
(a) Sn=∑k=1nkS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}
(b) Sn=∑k=1n1kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}
(c) Sn=∑k=1n1n2+k2S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k^{2}}
(d) Sn=∑k=n+12n1k2S_{n}=\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}}
(e) Sn=∑k=1nnn2+kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}
(f) Sn=∑k=1n1n2+kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}
(g) Sn=∑k=0n(−1)n−kkS_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} k !
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer par comparaison, la limite des suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes :
(a) un=sin⁡nn+(−1)n+1u_{n}=\frac{\sin n}{n+(-1)^{n+1}}
(d) un=ennnu_{n}=\frac{\mathrm{e}^{n}}{n^{n}}
(b) un=n!nnu_{n}=\frac{n !}{n^{n}}
(c) un=n−(−1)nn+(−1)nu_{n}=\frac{n-(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}
(e) un=2+(−1)nnu_{n}=\sqrt[n]{2+(-1)^{n}}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
(a) un=(1+1n)nu_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
(c) un=(sin⁡1n)1/nu_{n}=\left(\sin \frac{1}{n}\right)^{1 / n}
(b) un=n2nu_{n}=\sqrt[n]{n^{2}}
(d) un=(n−1n+1)nu_{n}=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes :
(a) un=3n−(−2)n3n+(−2)nu_{n}=\frac{3^{n}-(-2)^{n}}{3^{n}+(-2)^{n}}
(b) un=n2+n+1−n2−n+1u_{n}=\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}
(c) un=n−n2+1n+n2−1u_{n}=\frac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}}
(d) un=1n2∑k=1nku_{n}=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k
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Analyse
Difficulté 3
Soient KK un réel strictement supérieur à 1 et (εn)\left(\varepsilon_{n}\right) une suite de réels positifs convergeant vers 0 .
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite de réels de [0;1][0 ; 1] vérifiant∀n∈N,0≤un+1≤un+εnK\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_{n+1} \leq \frac{u_{n}+\varepsilon_{n}}{K}
La suite (un)\left(u_{n}\right) converge-t-elle vers 0 ?
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite de réels non nuls vérifiant un+1un→0\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \rightarrow 0
Déterminer la limite de (un)\left(u_{n}\right).
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) deux suites telles que
0≤un≤1,0≤vn≤1 et unvn→10 \leq u_{n} \leq 1,0 \leq v_{n} \leq 1 \text { et } u_{n} v_{n} \rightarrow 1
Que dire de ces suites?
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) deux suites réelles telles que un2+unvn+vn2→0u_{n}^{2}+u_{n} v_{n}+v_{n}^{2} \rightarrow 0.
Démontrer que les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) convergent vers 0 .
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soient (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) deux suites convergentes.
Étudier
lim⁡n→+∞max⁡(un,vn).\lim _{n \rightarrow+\infty} \max \left(u_{n}, v_{n}\right) .
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) deux suites réelles telles que (un+vn)\left(u_{n}+v_{n}\right) et (un−vn)\left(u_{n}-v_{n}\right) convergent.
Montrer que (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) convergent.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soient (a,b)∈R2,(a, b) \in \mathbb{R}^{2},
(un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) deux suites telles que
{n∈N,un≤a et vn≤b<br/>un+vn→a+b\left\{\begin{array}{r}n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq a \text { et } v_{n} \leq b <br/> u_{n}+v_{n} \rightarrow a+b\end{array}\right.
Montrer que un→au_{n} \rightarrow a et vn→bv_{n} \rightarrow b.
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