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Maths
Analyse
Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle que pour tout x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y).
On suppose en outre que la fonction ff est continue en un point x0∈Rx_{0} \in \mathbb{R}.
Déterminer ff.
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Maths
Analyse
Difficulté 2
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue en 0 et en 1 telle que
∀x∈R,f(x)=f(x2) \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=f\left(x^{2}\right)
Montrer que ff est constante.
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Étudier la continuité de la fonction f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} définie par
f(x)=sup⁡n∈Nxnn! f(x)=\sup _{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{n}}{n !}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=1 f(x)=1 si x∈Qx \in \mathbb{Q} et 0 0 autrement.
Montrer que ff est totalement discontinue.
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Étudier la continuité sur R\mathbb{R} de l'application f:x↦⌊x⌋+x−⌊x⌋ f: x \mapsto\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
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Maths
Analyse
Difficulté 3
Soit ff une fonction croissante de [0;1][0 ; 1] dans [0;1][0 ; 1].
(a) Montrer que s'il existe x∈[0;1]x \in[0 ; 1] et k∈N∗k \in \mathbb{N}^{*} tels que fk(x)=xf^{k}(x)=x alors xx est un point fixe pour ff.
(b) Montrer que ff admet un point fixe.
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