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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On cherche les polynômesP(X)=(X−a)(X−b)∈C[X]P(X)=(X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]tels que P(X)P(X) divise P(X3)P\left(X^{3}\right).
Montrer que, si a=b,P∈R[X]a=b, P \in \mathbb{R}[X] et que si a≠ba \neq b et a3≠b3a^{3} \neq b^{3}, il existe 6 polynômes dont 4 dans R[X]\mathbb{R}[X].
Trouver les polynômes PP si a≠ba \neq b et a3=b3a^{3}=b^{3} et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans R[X]\mathbb{R}[X].
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient A,B,C∈K[X]A, B, C \in \mathbb{K}[X] tels que AA et BB soient premiers entre eux.
Montrer
pgcd⁡(A,BC)=pgcd⁡(A,C).\operatorname{pgcd}(A, B C)=\operatorname{pgcd}(A, C) .
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On cherche les polynômesP(X)=(X−a)(X−b)∈C[X]P(X)=(X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]tels que P(X)P(X) divise P(X3)P\left(X^{3}\right).
Montrer que, si a=b,P∈R[X]a=b, P \in \mathbb{R}[X] et que si a≠ba \neq b et a3≠b3a^{3} \neq b^{3}, il existe 6 polynômes dont 4 dans R[X]\mathbb{R}[X].
Trouver les polynômes PP si a≠ba \neq b et a3=b3a^{3}=b^{3} et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans R[X]\mathbb{R}[X].
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient A,B,C∈K[X]A, B, C \in \mathbb{K}[X] tels que AA et BB soient premiers entre eux.
Montrer
pgcd⁡(A,BC)=pgcd⁡(A,C).\operatorname{pgcd}(A, B C)=\operatorname{pgcd}(A, C) .
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit A,B∈K[X]A, B \in \mathbb{K}[X] non nuls.\\
Montrer :\\
a) AA et BB sont premiers entre eux si, et seulement si,\\
b) A+BA+B et ABA B le sont.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit A,B∈K[X]A, B \in \mathbb{K}[X] non nuls.
Montrer :
a) AA et BB sont premiers entre eux si, et seulement si,
b) A+BA+B et
c) ABA B le sont.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (A,B)∈(K[X])2(A, B) \in(\mathbb{K}[X])^{2} non nuls.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) AA et BB ne sont pas premiers entre eux.
(ii) il existe (U,V)∈(K[X]−{0})2(U, V) \in(\mathbb{K}[X]-\{0\})^{2} tel queAU+BV=0,deg⁡U<deg⁡B et deg⁡V<deg⁡AA U+B V=0, \operatorname{deg} U<\operatorname{deg} B \text { et } \operatorname{deg} V<\operatorname{deg} A
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (A,B)∈(K[X])2(A, B) \in(\mathbb{K}[X])^{2} non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) AA et BB ne sont pas premiers entre eux.
(ii) il existe (U,V)∈(K[X]−{0})2(U, V) \in(\mathbb{K}[X]-\{0\})^{2} tel que
AU+BV=0,deg⁡U<deg⁡B et deg⁡V<deg⁡AA U+B V=0, \operatorname{deg} U<\operatorname{deg} B \text { et } \operatorname{deg} V<\operatorname{deg} A
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit A,B∈K[X]A, B \in \mathbb{K}[X] tels que A2∣B2A^{2} \mid B^{2}.
Montrer que A∣BA \mid B.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit A,B∈K[X]A, B \in \mathbb{K}[X] tels que A2∣B2A^{2} \mid B^{2}.
Montrer que A∣BA \mid B.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Montrer que P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−XP(P(X))-X.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X]. Montrer que:
a)a) P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−XP(P(X))-X. \\ b)b) \\ c)c)
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
(a) Montrer que P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−P(X)P(P(X))-P(X).
(b) En déduire que P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−XP(P(X))-X.
(c) On note P[n]=P∘…∘PP^{[n]}=P \circ \ldots \circ P (composition à n≥1n \geq 1 facteurs). Établir que P(X)−XP(X)-X divise P[n](X)−XP^{[n]}(X)-X
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X]
(a) Montrer que P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−P(X)P(P(X))-P(X).
(b) En déduire que P(X)−XP(X)-X divise P(P(X))−XP(P(X))-X.
(c) On note P[n]=P∘…∘PP^{[n]}=P \circ \ldots \circ P (composition à n≥1n \geq 1 facteurs).
Établir que P(X)−XP(X)-X divise P[n](X)−XP^{[n]}(X)-X
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ,μ)∈K2(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^{2} pour que
X2+2X^{2}+2
divise
X4+X3+λX2+μX+2X^{4}+X^{3}+\lambda X^{2}+\mu X+2
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ,μ)∈K2(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^{2} pour que X2+2X^{2}+2 divise X4+X3+λX2+μX+2X^{4}+X^{3}+\lambda X^{2}+\mu X+2
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
(a) X−1∣X3−2X2+3X−2X-1 \mid X^{3}-2 X^{2}+3 X-2
(b) X−2∣X3−3X2+3X−2X-2 \mid X^{3}-3 X^{2}+3 X-2
(c) X+1∣X3+3X2−2X+1 \mid X^{3}+3 X^{2}-2.
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Algèbre
Difficulté 3
Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
(a) X−1∣X3−2X2+3X−2X-1 \mid X^{3}-2 X^{2}+3 X-2
(b) X−2∣X3−3X2+3X−2X-2 \mid X^{3}-3 X^{2}+3 X-2
(c) X+1∣X3+3X2−2X+1 \mid X^{3}+3 X^{2}-2.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient n,m∈N∗n, m \in \mathbb{N}^{*}
(a) De la division euclidienne de nn par mm, déduire celle de Xn−1X^{n}-1 par Xm−1X^{m}-1.
(b) Établir quepgcd⁡(Xn−1,Xm−1)=Xpgcd⁡(n,m)−1\operatorname{pgcd}\left(X^{n}-1, X^{m}-1\right)=X^{\operatorname{pgcd}(n, m)}-1
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient n,m∈N∗n, m \in \mathbb{N}^{*}
(a) De la division euclidienne de nn par mm, déduire celle de Xn−1X^{n}-1 par Xm−1X^{m}-1.
(b) Établir quepgcd⁡(Xn−1,Xm−1)=Xpgcd⁡(n,m)−1\operatorname{pgcd}\left(X^{n}-1, X^{m}-1\right)=X^{\operatorname{pgcd}(n, m)}-1
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit k,n∈N∗k, n \in \mathbb{N}^{*} et rr le reste de la division euclidienne de kk par nn.
Montrer que le reste de la division euclidienne de Xkpar⁡Xn−1X^{k} \operatorname{par} X^{n}-1 est XrX^{r}.
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Algèbre
Difficulté 4
Soit k,n∈N∗k, n \in \mathbb{N}^{*} et rr le reste de la division euclidienne de kk par nn.
Montrer que le reste de la division euclidienne de Xkpar⁡Xn−1X^{k} \operatorname{par} X^{n}-1 est XrX^{r}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient t∈Rt \in \mathbb{R} et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X]\mathbb{R}[X] de (Xcos⁡t+sin⁡t)n(X \cos t+\sin t)^{n} par X2+1X^{2}+1.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient t∈Rt \in \mathbb{R} et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X]\mathbb{R}[X] de (Xcos⁡t+sin⁡t)n(X \cos t+\sin t)^{n} par X2+1X^{2}+1.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient a∈Ka \in \mathbb{K} et P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Exprimer le reste de la division euclidienne de PP par (X−a)2(X-a)^{2} en fonction de P(a)P(a) et P′(a)P^{\prime}(a).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient a∈Ka \in \mathbb{K} et P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Exprimer le reste de la division euclidienne de PP par (X−a)2(X-a)^{2} en fonction de P(a)P(a) et P′(a)P^{\prime}(a).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (a,b)∈K2(a, b) \in \mathbb{K}^{2} tels que a≠ba \neq b et P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Exprimer le reste de la division euclidienne de PP par (X−a)(X−b)(X-a)(X-b) en fonction de P(a)P(a) et P(b)P(b).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (a,b)∈K2(a, b) \in \mathbb{K}^{2} tels que a≠ba \neq b et P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Exprimer le reste de la division euclidienne de PP par (X−a)(X−b)(X-a)(X-b) en fonction de P(a)P(a) et P(b)P(b).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, on désigne par NN le nombre de diviseurs positifs de nn et par PP leur produit. Quelle relation existe-t-il entre n,Nn, N et PP ?
(c) Montrer
∀n∈N,∀m∈N∗,φn+m=φmφn+1+φm−1φn\forall n \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}^{*}, \varphi_{n+m}=\varphi_{m} \varphi_{n+1}+\varphi_{m-1} \varphi_{n}
(d) En déduire
∀m,n∈N∗,pgcd⁡(φn,φm+n)=pgcd⁡(φn,φm)\forall m, n \in \mathbb{N}^{*}, \operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{m+n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{m}\right)
puis⁡pgcd⁡(φm,φn)=pgcd⁡(φn,φr)\operatorname{puis} \operatorname{pgcd}\left(\varphi_{m}, \varphi_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{r}\right) où rr est le reste de la division euclidienne de mm par nn.
(e) Conclure
pgcd⁡(φm,φn)=φpgcd⁡(m,n)\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{m}, \varphi_{n}\right)=\varphi_{\operatorname{pgcd}(m, n)}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Résoudre dans Z2\mathbb{Z}^{2} les équations suivantes :
(a) xy=3x+2yx y=3 x+2 y
(b) 1x+1y=15\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}
(c) x2−y2−4x−2y=5x^{2}-y^{2}-4 x-2 y=5
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Résoudre dans Z\mathbb{Z} les équations suivantes :
(a) x−1∣x+3x-1 \mid x+3
b) x+2∣x2+2x+2 \mid x^{2}+2.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Pour p∈Pp \in \mathcal{P} et n∈Zn \in \mathbb{Z}, on note vp(n)v_{p}(n) l'exposant de la plus grande puissance de pp divisant nn.
(a) Montrer que v2(1000v_{2}(1000 !) =994=994.
(b) Plus généralement, calculer vp(nv_{p}(n !).
On rappelle que
∀x∈R,⌊⌊px⌋p⌋=⌊x⌋\forall x \in \mathbb{R},\left\lfloor\frac{\lfloor p x\rfloor}{p}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit σ:Z→N\sigma: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N} qui à n∈Zn \in \mathbb{Z} associe la somme de diviseurs positifs de nn.
(a) Soit p∈Pp \in \mathcal{P} et α∈N∗\alpha \in \mathbb{N}^{*}. Calculer σ(pα)\sigma\left(p^{\alpha}\right).
(b) Soient a,b∈Za, b \in \mathbb{Z} premiers entre eux. Montrer que tout diviseur positif dd du produit aba b s'écrit de manière unique d=d1d2d=d_{1} d_{2} avec d1d_{1} et d2d_{2} diviseurs positifs de aa et bb.
(c) En déduire que si aa et bb sont premiers entre eux alors σ(ab)=σ(a)σ(b)\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b)
(d) Exprimer σ(n)\sigma(n) en fonction de la décomposition primaire de nn.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit n∈N\{0,1}n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} dont la décomposition primaire est
n=∏i=1Npiαin=\prod_{i=1}^{N} p_{i}^{\alpha_{i}}
On note d(n)d(n) le nombre de diviseurs supérieurs ou égaux à 1 de nn et σ(n)\sigma(n) la somme de ceux-ci.
Montrer
d(n)=∏i=1N(αi+1) et σ(n)=∏i=1Npiαi+1−1pi−1d(n)=\prod_{i=1}^{N}\left(\alpha_{i}+1\right) \text { et } \sigma(n)=\prod_{i=1}^{N} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit n∈N\{0,1}n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} et n=∏k=1Npkαkn=\prod_{k=1}^{N} p_{k}^{\alpha_{k}} sa décomposition primaire.
Quel est le nombre de diviseurs positifs de nn ?
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient p∈Pp \in \mathcal{P} et α∈N∗\alpha \in \mathbb{N}^{*}.
Déterminer les diviseurs positifs de pαp^{\alpha}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On étudie l'équation algébrique
(E):xn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0(E): x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0
d'inconnue xx et où les coefficients a0,a1,…,an−1a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1} sont supposés entiers.
Montrer que les solutions réelles de (E)(E) sont entières ou irrationnelles.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On divise un cercle en nn arcs égaux et on joint les points de division de pp en pp jusqu'à ce qu'on revienne au point de départ.
Quel est le nombre de côtés du polygone construit?
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient a,b∈N∗a, b \in \mathbb{N}^{*}.
On suppose qu'il existe m,nm, n premiers entre eux tels que am=bna^{m}=b^{n}.
Montrer qu'il existe c∈N∗c \in \mathbb{N}^{*} tel que a=cna=c^{n} et b=cmb=c^{m}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit x∈Qx \in \mathbb{Q}.
On suppose qu'il existe n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} tel que xn∈Zx^{n} \in \mathbb{Z}.
Montrer que x∈Zx \in \mathbb{Z}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}, montrer n∈Q⟺∃m∈N,n=m2\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow \exists m \in \mathbb{N}, n=m^{2}
En déduire que \sqrt{2} \n\n\notin \mathbb{Q}
et \sqrt{3} \n\n\notin \mathbb{Q}
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