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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Résoudre dans N2\mathbb{N}^{2} les systèmes :
(a) {pgcd⁡(x,y)=5ppcm⁡(x,y)=60\left\{\begin{aligned} \operatorname{pgcd}(x, y) & =5 \\ \operatorname{ppcm}(x, y) & =60\end{aligned}\right.
(b) {x+y=100pgcd⁡(x,y)=10\left\{\begin{aligned} x+y & =100 \\ \operatorname{pgcd}(x, y) & =10\end{aligned}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre dans N2\mathbb{N}^{2} l'équation : pgcd⁡(x,y)+ppcm⁡(x,y)=x+y\operatorname{pgcd}(x, y)+\operatorname{ppcm}(x, y)=x+y
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient d,m∈Nd, m \in \mathbb{N}. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le système {pgcd⁡(x,y)=dppcm⁡(x,y)=m\left\{\begin{array}{c}\operatorname{pgcd}(x, y)=d \\ \operatorname{ppcm}(x, y)=m\end{array}\right. possède un couple (x,y)∈N2(x, y) \in \mathbb{N}^{2} solution.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que le pgcd de 2n+42 n+4 et 3n+33 n+3 ne peut être que 1,2,31,2,3 ou 6 .
a)
b)
c)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a,b,d∈Za, b, d \in \mathbb{Z}.
Montrer l'équivalence :
(∃u,v∈Z,au+bv=d)⟺pgcd⁡(a,b)∣d (\exists u, v \in \mathbb{Z}, a u+b v=d) \Longleftrightarrow \operatorname{pgcd}(a, b) \mid d
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On considère la suite (φn)n∈N\left(\varphi_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par
φ0=0,φ1=1 et ∀n∈N,φn+2=φn+1+φn\varphi_{0}=0, \varphi_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, \varphi_{n+2}=\varphi_{n+1}+\varphi_{n}
(a) Montrer
∀n∈N∗,φn+1φn−1−φn2=(−1)n\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \varphi_{n+1} \varphi_{n-1}-\varphi_{n}^{2}=(-1)^{n}
(b) En déduire
∀n∈N∗,φn∧φn+1=1\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \varphi_{n} \wedge \varphi_{n+1}=1
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a∈Za \in \mathbb{Z} et b∈N∗b \in \mathbb{N}^{*}, on note qq le quotient de la division euclidienne de a−1a-1 par bb.
Déterminer pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, le quotient de la division euclidienne de (abn−1)\left(a b^{n}-1\right) par bn+1b^{n+1}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer le pgcd et les coefficients de l'égalité de Bézout (1730-1783) des entiers aa et bb suivants :
(a) a=33a=33 et b=24b=24
(b) a=37a=37 et b=27b=27
(c) a=270a=270 et b=105b=105.
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