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Maths
Algèbre
Difficulté 4
(Nombres de Carmichael) Soit nn un entier supérieur à 2
On suppose que nn pour tout facteur premier pp de n,p2n, p^{2} ne divise pas nn mais p−1p-1 divise n−1n-1.
Établir
∀a∈Z,an≡a[n]\forall a \in \mathbb{Z}, a^{n} \equiv a[n]
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit n≥2n \geq 2 un entier.
On suppose∀a∈{1,…,n−1},an−1≡1[n]\forall a \in\{1, \ldots, n-1\}, a^{n-1} \equiv 1[n]
Montrer que nn est un nombre premier
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit pp un nombre premier.
(a) Montrer
∀k∈{1,2,…,p−1},p∣(pk)\forall k \in\{1,2, \ldots, p-1\}, p \mid\left(\begin{array}{l}p \\k\end{array}\right) (b) En déduire que
∀n∈Z,np≡n[p]\forall n \in \mathbb{Z}, n^{p} \equiv n[p]
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit E={4k−1∣k∈N∗}E=\left\{4 k-1 \mid k \in \mathbb{N}^{*}\right\}.
(a) Montrer que pour tout n∈En \in E, il existe p∈P∩Ep \in \mathcal{P} \cap E tel que p∣np \mid n.
(b) En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers pp tel que p=−1p=-1 [4].
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient a,b∈N\{0,1}a, b \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
On suppose que an+bna^{n}+b^{n} est un nombre premier.
Montrer que nn est une puissance de 2.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient des entiers a>1a>1 et n>0n>0.
Montrer que si an+1a^{n}+1 est premier alors nn est une puissance de 2 .
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On suppose que nn est un entier ≥2\geq 2 tel que 2n−12^{n}-1 est premier.
Montrer que nn est nombre premier.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Justifier l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit nn un naturel non nul.
Montrer qu'il existe toujours un nombre premier strictement compris entre nn et n!+2n !+2.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient n≥2n \geq 2 et NN la somme de nn entiers impairs consécutifs.
Montrer que NN n'est pas un nombre premier.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que les entiers ai=i.n!+1a_{i}=i . n !+1 pour i∈{1,…,n+1}i \in\{1, \ldots, n+1\}
sont deux à deux premiers entre eux.
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Maths
Algèbre
Difficulté 5
Soient aa et bb deux entiers relatifs premiers entre eux et d∈Nd \in \mathbb{N} un diviseur de aba b.
Montrer
∃!(d1,d2)∈N2,d=d1d2,d1∣a et d2∣b\exists !\left(d_{1}, d_{2}\right) \in \mathbb{N}^{2}, d=d_{1} d_{2}, d_{1} \mid a \text { et } d_{2} \mid b
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, montrer qu'il existe un couple unique (an,bn)∈N2\left(a_{n}, b_{n}\right) \in \mathbb{N}^{2} tel que(1+2)n=an+bn2(1+\sqrt{2})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{2}.
(b) Calculer an2−2bn2a_{n}^{2}-2 b_{n}^{2}.
(c) En déduire que ana_{n} et bnb_{n} sont premiers entre eux.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient aa et bb deux entiers premiers entre eux non nuls.
Notre but est de déterminer tous les couples (u,v)∈Z2(u, v) \in \mathbb{Z}^{2} tels que au+bv=1a u+b v=1.
(a) Justifier l'existence d'au moins un couple solution (u0,v0)\left(u_{0}, v_{0}\right).
(b) Montrer que tout autre couple solution est de la forme (u0+kb,v0−ka)\left(u_{0}+k b, v_{0}-k a\right) avec k∈Zk \in \mathbb{Z}.
(c) Conclure.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient aa et bb premiers entre eux et c∈Zc \in \mathbb{Z}.
Montrer que pgcd⁡(a,bc)=pgcd⁡(a,c)\operatorname{pgcd}(a, b c)=\operatorname{pgcd}(a, c)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que pour tout entier n∈N∗,n+1n \in \mathbb{N}^{*}, n+1 et 2n+12 n+1 sont premiers entre eux.
En déduire
n+1∣(2nn)n+1 \mid\left(\begin{array}{c}2 n \\n\end{array}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on a :
(a) (n2+n)∧(2n+1)=1\left(n^{2}+n\right) \wedge(2 n+1)=1
(b) (3n2+2n)∧(n+1)=1\left(3 n^{2}+2 n\right) \wedge(n+1)=1
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}.
(a) On suppose a∧b=1a \wedge b=1. Montrer que (a+b)∧ab=1(a+b) \wedge a b=1.
(b) On revient au cas général. Calculer pgcd⁡(a+b,ppcm⁡(a,b))\operatorname{pgcd}(a+b, \operatorname{ppcm}(a, b)).
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