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Maths
Algèbre
Difficulté 4
On dit qu'une matrice A=(ai,j)∈Mn(K)A=\left(a_{i, j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est centro-symétrique si∀(i,j)∈⟦1;n⟧2,an+1−i,n+1−j=ai,j\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, a_{n+1-i, n+1-j}=a_{i, j}.
(a) Montrer que le sous-ensemble CC de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
(b) Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) est aussi centro-symétrique.
(c) Soit AA centro-symétrique de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et inversible. En considérant l'application X↦AXX \mapsto A X de CC vers CC, montrer que A−1A^{-1} est centro-symétrique.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE l'ensemble des matrices de M2(K)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) de la formeA=(a+bb−ba−b) avec (a,b)∈K2A=\left(\begin{array}{cc}a+b & b \\-b & a-b\end{array}\right) \text { avec }(a, b) \in \mathbb{K}^{2} (a)(a) Montrer que EE est un sous-espace vectoriel de M2(K)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}), en donner une base.
(b)(b) Montrer que EE est un sous-anneau commutatif de M2(K)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}).
(c)(c) Déterminer les inversibles de EE.
(d)(d) Déterminer les diviseurs de zéro de EE c'est-à-dire les matrices AA et B∈EB \in E vérifiant AB=O2A B=O_{2} avec A,B≠O2A, B \neq O_{2}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
(Matrices de permutation) Soit n∈N\{0,1}n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}. Pour σ∈Sn\sigma \in \mathcal{S}_{n}, on noteP(σ)=(δi,σ(j))1≤i,j≤n∈Mn(R)P(\sigma)=\left(\delta_{i, \sigma(j)}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) appelée matrice de permutation associée à σ\sigma.
(a) Montrer que∀(σ,σ′)∈Sn2,P(σ∘σ′)=P(σ)P(σ′)\forall\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right) \in \mathcal{S}_{n}^{2}, P\left(\sigma \circ \sigma^{\prime}\right)=P(\sigma) P\left(\sigma^{\prime}\right)
(b) En déduire que E={P(σ)∣σ∈Sn}E=\left\{P(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}_{n}\right\} est un sous-groupe de GLn(R)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) isomorphe à Sn\mathcal{S}_{n}.
(c) Vérifier quet(P(σ))=P(σ−1){ }^{t}(P(\sigma))=P\left(\sigma^{-1}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE l'ensemble des matrices de la forme M(a,b,c)=(abc0ab00a)M(a, b, c)=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\0 & a & b \\0 & 0 & a\end{array}\right) avec a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}.
Notre objectif est d'établir que l'inverse d'une matrice inversible de EE appartient encore à EE, sans pour autant calculer cet inverse.
(a) Montrer que (E,+,(E,+,.)) est un R\mathbb{R}-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
(b) Montrer que (E,+,×)(E,+, \times) est un anneau commutatif.
(c) À quelle condition sur (a,b,c)∈R3(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}, la matrice A=M(a,b,c)A=M(a, b, c) est-elle inversible dans M3(R)\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l'application f:E→Ef: E \rightarrow E définie par f(X)=AXf(X)=A X, montrer que A−1∈EA^{-1} \in E.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que toute matrice de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice nilpotente.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que Sn(R)\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) et An(R)\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient D=diag⁡(a1,…,an)∈Mn(K)D=\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) etφ:M∈Mn(K)↦DM−MD\varphi: M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mapsto D M-M D.
(a) Déterminer noyau et image de l'endomorphisme φ\varphi.
(b) Préciser ces espaces quand DD est à coefficients diagonaux distincts.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit n≥2n \geq 2.
Déterminer les matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})
commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit n≥2n \geq 2.
Déterminer les matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) commutant avec toutes les matrices symétriques.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit T∈Mn(R)T \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que TT commute avec sa transposée
si, et seulement si, la matrice TT est diagonale.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit n∈Nn \in \mathbb{N} avec n≥2n \geq 2.
(a) Montrer que{A∈Mn(R)∣∀M∈GLn(R),AM=MA}={λIn∣λ∈R}\left\{A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid \forall M \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), A M=M A\right\}=\left\{\lambda \mathrm{I}_{n} \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}
(b) Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}). On suppose que∀M,N∈Mn(R),A=MN⟹A=NM\forall M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), A=M N \Longrightarrow A=N M
Montrer qu'il existe λ∈R\lambda \in \mathbb{R} tel que A=λInA=\lambda I_{n}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient n∈N∗,α1,…,αnn \in \mathbb{N}^{*}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} des complexes distincts,
A=diag⁡(α1,…,αn)A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) et
C(A)={M∈Mn(C),AM=MA}C(A)=\left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), A M=M A\right\}
Montrer que (Ak)0≤k≤n−1\left(A^{k}\right)_{0 \leq k \leq n-1} est une base de C(A)C(A).
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Quelles sont les matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) commutant avec toutes les matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) ?
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
On suppose que A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) commutent et que AA est inversible.
Justifier que les matrices A−1A^{-1} et BB commutent.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient A,B∈Mn(R)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) où BB est nilpotente et commute avec AA.
Montrer que AA et A+BA+B sont simultanément inversibles.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit A=(ai,j)A=\left(a_{i, j} \right) ∈Mn(K)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
Montrer que
∀B∈Mn(K),AB=BA⟺∃λ∈K,A=λ.In\forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), A B=B A \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}, A=\lambda . I_{n}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} des éléments de K\mathbb{K} deux à deux distincts et D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right).
Déterminer les matrices de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) commutant avec DD.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit A∈GLn(R)A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant
A+A−1=InA+A^{-1}=\mathrm{I}_{n}
Pour k∈Nk \in \mathbb{N}, calculer Ak+A−kA^{k}+A^{-k}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre l'équation X2=AX^{2}=A où
A=(1010420016)A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\0 & 4 & 2 \\0 & 0 & 16\end{array}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
SoitM=(abcd)∈M2(R)M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})avec 0≤d≤c≤b≤a0 \leq d \leq c \leq b \leq a et b+c≤a+db+c \leq a+d.
Pour tout n≥2n \geq 2, on noteMn=(anbncndn)M^{n}=\left(\begin{array}{ll}a_{n} & b_{n} \\c_{n} & d_{n}\end{array}\right)
Démontrer que, pour tout n≥2n \geq 2, bn+cn≤an+dnb_{n}+c_{n} \leq a_{n}+d_{n}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Pour A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), on note σ(A)\sigma(A) la somme des termes de AA.
On pose
J=(1⋯1⋮(1)⋮1⋯1)J=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\\vdots & (1) & \vdots \\1 & \cdots & 1\end{array}\right)
Vérifier J.A.J=σ(A).JJ . A . J=\sigma(A) . J.
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