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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Résoudre, en discutant selon a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} le système
{ax+y+z+t=1x+ay+z+t=bx+y+az+t=b2x+y+z+at=b3.\left\{\begin{array}{l}a x+y+z+t=1 \\x+a y+z+t=b \\x+y+a z+t=b^{2} \\x+y+z+a t=b^{3} .\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Discuter suivant aa et bb et résoudre
{ax+2by+2z=12x+aby+2z=b2x+2by+az=1\left\{\begin{array}{l}a x+2 b y+2 z=1 \\ 2 x+a b y+2 z=b \\ 2 x+2 b y+a z=1\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à nn sommets z1,…,znz_{1}, \ldots, z_{n} tel que :
aia_{i} est le milieu de [zi;zi+1]\left[z_{i} ; z_{i+1}\right] et ana_{n} est le milieu de [zn;z1]\left[z_{n} ; z_{1}\right].
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes :
{x1+x2=0x1+x2+x3=0x2+x3+x4=0⋱⋱⋱⋮xn−2+xn−1+xn=0xn−1+xn=0.\left\{\begin{array}{rlrl} x_{1}+x_{2} & & &=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} & & & =0 \\ x_{2}+x_{3}+x_{4} & & & =0 \\ \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n} &&& =0 \\ x_{n-1}+x_{n} &&& =0 .\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes :
{x1+x2+x3+⋯+xn=1x1+2x2+2x3+⋯+2xn=1x1+2x2+3x3+⋯+3xn=1⋮x1+2x2+3x3+⋯+nxn=1\left\{\begin{array} {l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n} & =1 \\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+\cdots+2 x_{n} & =1 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+3 x_{n} & =1 \\ \vdots & \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n} & =1\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}. Résoudre le système :{ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1\left\{\begin{array}{l}a x+b y+z=1 \\ x+a b y+z=b \\ x+b y+a z=1\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre en fonction du paramètre m∈Cm \in \mathbb{C}, les systèmes suivants d'inconnues complexes :
(a) {x−y+z=mx+my−z=1x−y−z=1\left\{\begin{aligned} x-y+z & =m \\ x+m y-z & =1 \\ x-y-z & =1\end{aligned}\right.
(b) {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2\left\{\begin{array}{l}m x+y+z=1 \\ x+m y+z=m \\ x+y+m z=m^{2}\end{array}\right.
(c) {mx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m+1\left\{\begin{array}{l}m x+y+z+t=1 \\ x+m y+z+t=m \\ x+y+m z+t=m+1\end{array}\right.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
On considère, pour mm paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de R3\mathbb{R}^{3} : F={(x,y,z)∈R3∣x+my+z=0 et mx+y−mz=0}F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+m y+z=0 \text { et } m x+y-m z=0\right\} et G={(x,y,z)∈R3∣x−my+z=0}G=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-m y+z=0\right\} (a)(a) Déterminer la dimension de FF et GG.
(b)(b) Discuser, selon la valeur de mm, la dimension du sous-espace vectoriel F∩GF \cap G.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Discuter, selon mm paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de R3\mathbb{R}^{3} suivants :
(a) F={(x,y,z)∈R3∣{x+my+z=0mx+y+mz=0}F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\left\{\begin{array}{r}x+m y+z=0 \\ m x+y+m z=0\end{array}\right\}\right.
(b) F={(x,y,z)∈R3∣{x+y+mz=0x+my+z=0mx+y+z=0}F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\left\{\begin{array}{l}x+y+m z=0 \\ x+m y+z=0 \\ m x+y+z=0\end{array}\right\}\right..
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Montrer que les matrices carrées d'ordre n≥2n \geq 2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss :
(a) A=(1−a(0)⋱⋱⋱−a(0)1)A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -a & & (0) \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -a \\ (0) & & & 1\end{array}\right)
(c) C=(12⋯n⋱⋱⋮⋱2(0)1)C=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \cdots & n \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & 2 \\ (0) & & & 1\end{array}\right)
(b) B=(1(1)⋱(0)1)B=\left(\begin{array}{ccc}1 & & (1) \\ & \ddots & \\ (0) & & 1\end{array}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit A=(1−δi,j)∈Mn(R)A=\left(1-\delta_{i, j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})
(a) Calculer A2A^{2}.
(b) Montrer que AA est inversible et exprimer A−1A^{-1}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
SoitA=(2−125−33−10−2)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\5 & -3 & 3 \\-1 & 0 & -2\end{array}\right) (a) Calculer (A+I)3(A+I)^{3}.
(b) En déduire que AA est inversible.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Montrer que la matriceA=(0111101111011110)A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)est inversible
et calculer son inverse.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient A,B,C∈Mn(K)(n≥2)A, B, C \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})(n \geq 2) non nulles vérifiant
ABC=OnA B C=\mathrm{O}_{n}
Montrer qu'au moins deux des matrices A,B,CA, B, C ne sont pas inversibles.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) telle que la matrice I+AI+A soit inversible. On pose B=(I−A)(I+A)−1B=(I-A)(I+A)^{-1}.
(a) Montrer que B=(I+A)−1(I−A)B=(I+A)^{-1}(I-A).
(b) Montrer que I+BI+B est inversible et exprimer AA en fonction de BB.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient n∈N\{0,1}n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\} et ω=exp⁡(2iπn)\omega=\exp \left(\frac{2 \mathrm{i} \pi}{n}\right).
On poseA=(ω(k−1)(ℓ−1))1≤k,ℓ≤n∈Mn(C)A=\left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1 \leq k, \ell \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})
Calculer AAˉA \bar{A}.
En déduire que AA est inversible et calculer A−1A^{-1}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Justifier queA=(1(−1)⋱01)∈Mn(R)A=\left(\begin{array}{ccc}1 & & (-1) \\& \ddots & \\0 & & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})
est inversible et déterminer A−1A^{-1}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes :
(a) A=A= (10−121−3−102)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)
(b) B=B= (1012−11−11−1)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right)
(c) C=(11−120121−1)C=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit A=(abcd)∈M2(K)A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})
Observer que A2−(a+d)A+(ad−bc)I=0A^{2}-(a+d) A+(a d-b c) I=0
À quelle condition AA est-elle inversible?
Déterminer alors A−1A^{-1}.
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