logo
  • Filtre for math subject Tous les sujets
  • Filtre for math subjectMaths
  • Filtre for math subjectPhysique-Chimie
  • Filtre for math subjectCorrigés de BAC
  • Filtre for math subjectPrépa Examens
  • Filtre for math subjectRévisions Maths lycée
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On définit une suite de polynôme (Pn)\left(P_{n}\right) parP0=2,P1=X et ∀n∈N,Pn+2=XPn+1−PnP_{0}=2, P_{1}=X \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n} (a) Calculer P2P_{2} et P3P_{3}.
Déterminer degré et coefficient dominant de PnP_{n}. (b) Montrer que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} et pour tout z∈C∗z \in \mathbb{C}^{*} on aPn(z+1/z)=zn+1/zn.P_{n}(z+1 / z)=z^{n}+1 / z^{n} . (c) En déduire une expression simple de Pn(2cos⁡θ)P_{n}(2 \cos \theta) pour θ∈R\theta \in \mathbb{R}. (d) Déterminer les racines de PnP_{n}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 5

Quels sont les couples (P,Q)∈R[X]2(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^{2}
vérifiant P2+(1−X2)Q2=1P^{2}+\left(1-X^{2}\right) Q^{2}=1 ?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer qu'il existe un unique polynôme P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] tel que P(cos⁡θ)=cos⁡nθP(\cos \theta)=\cos n \theta pour tout θ\theta réel. On le note TnT_{n}.
(a) Lier Tn−1,TnT_{n-1}, T_{n} et Tn+1T_{n+1}.
(b) Donner une équation différentielle vérifiée par TnT_{n}.
(c) Calculer Tn(k)(1)T_{n}^{(k)}(1) et Tn(k)(−1)T_{n}^{(k)}(-1).
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(Polynômes de Laguerre) Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on définit Ln:R→RL_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} par Ln(x)=exdn dxn(e−xxn)L_{n}(x)=\mathrm{e}^{x} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(\mathrm{e}^{-x} x^{n}\right)
Observer que LnL_{n} est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On définit une suite de polynôme (Pn)\left(P_{n}\right) parP0=2,P1=X et ∀n∈N,Pn+2=XPn+1−PnP_{0}=2, P_{1}=X \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n}
(a) Calculer P2P_{2} et P3P_{3}.
Déterminer degré et coefficient dominant de PnP_{n}.
(b) Montrer que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} et pour tout z∈C∗z \in \mathbb{C}^{*} on aPn(z+1/z)=zn+1/zn.P_{n}(z+1 / z)=z^{n}+1 / z^{n} .
(c) En déduire une expression simple de Pn(2cos⁡θ)P_{n}(2 \cos \theta) pour θ∈R\theta \in \mathbb{R}.
(d) Déterminer les racines de PnP_{n}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 5
Quels sont les couples (P,Q)∈R[X]2(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^{2}
vérifiant P2+(1−X2)Q2=1P^{2}+\left(1-X^{2}\right) Q^{2}=1 ?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer qu'il existe un unique polynôme P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] tel que P(cos⁡θ)=cos⁡nθP(\cos \theta)=\cos n \theta pour tout θ\theta réel. On le note TnT_{n}.
(a) Lier Tn−1,TnT_{n-1}, T_{n} et Tn+1T_{n+1}.
(b) Donner une équation différentielle vérifiée par TnT_{n}.
(c) Calculer Tn(k)(1)T_{n}^{(k)}(1) et Tn(k)(−1)T_{n}^{(k)}(-1).
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(Polynômes de Laguerre (1834-1886)) Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on définit Ln:R→RL_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} par$<br/>$\$<br/>\$ L_{n}(x)=\mathrm{e}^{x} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(\mathrm{e}^{-x} x^{n}\right)$$\$
\$ Observer que $L_{n}$ est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit (Pn)n≥0\left(P_{n}\right)_{n \geq 0} la suite de K[X]\mathbb{K}[X] définie par P0=0,P1=1 et ∀n∈N,Pn+2=XPn+1−Pn. P_{0}=0, P_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n} \text {. } (a) Montrer ∀n∈N,Pn+12=1+PnPn+2\forall n \in \mathbb{N}, P_{n+1}^{2}=1+P_{n}P_{n+2} (b) En déduire ∀n∈N,Pn et Pn+1 sont premiers entre eux \forall n \in \mathbb{N}, P_{n} \text { et } P_{n+1} \text { sont premiers entre eux } (c) Établir pour que pour tout m∈Nm \in \mathbb{N} et pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on a Pm+n=PnPm+1−Pn−1PmP_{m+n}=P_{n}P_{m+1}-P_{n-1}P_{m} (d) Montrer que pour tout m∈Nm \in \mathbb{N} et pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on a pgcd⁡(Pm+n,Pn)=pgcd⁡(Pn,Pm).\operatorname{pgcd}\left(P_{m+n}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right) . En déduire que pgcd⁡(Pm,Pn)=pgcd⁡(Pn,Pr)\operatorname{pgcd}\left(P_{m}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{r}\right) où rr est le reste de la division euclidienne de mm par nn. (e) Conclure pgcd⁡(Pn,Pm)=Ppgcd⁡(m,n)\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right)=P_{\operatorname{pgcd}(m, n)}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(Polynômes de Tchebychev (1821-1894)) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. On pose fn:[−1;1]→Rf_{n}:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} l'application définie parfn(x)=cos⁡(narccos⁡x).f_{n}(x)=\cos (n \arccos x) .
(a) Calculer f0,f1,f2f_{0}, f_{1}, f_{2} et f3f_{3}.
(b) Exprimer fn+1(x)+fn−1(x)f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x) en fonction de fn(x)f_{n}(x).
(c) Établir qu'il existe un unique polynôme TnT_{n} de R[X]\mathbb{R}[X] dont la fonction polynomiale associée coïncide avec fnf_{n} sur [−1;1][-1 ; 1].
(d) Donner le degré de TnT_{n} ainsi que son coefficient dominant.
(e) Observer que TnT_{n} possède exactement nn racines distinctes, que l'on exprimera, toutes dans ]−1;1[]-1 ; 1[.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que les sommes des zéros de PP,
P′P^{\prime},
…,\ldots,
P(n−1)P^{(n-1)}
sont en progression arithmétique.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit (Pn)n≥0\left(P_{n}\right)_{n \geq 0} la suite de K[X]\mathbb{K}[X] définie par P0=0,P_{0}=0, P1=1 et ∀n∈N,P_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, Pn+2=XPn+1−Pn. P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n} \text {. } (a) Montrer ∀n∈N,\forall n \in \mathbb{N}, Pn+12=1+PnPn+2P_{n+1}^{2}=1+P_{n} P_{n+2} (b) En déduire∀n∈N,\forall n \in \mathbb{N}, Pn et Pn+1 sont premiers entre eux P_{n} \text { et } P_{n+1} \text { sont premiers entre eux } (c) Établir pour que pour tout m∈Nm \in \mathbb{N} et pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on a Pm+n=PnPm+1−Pn−1PmP_{m+n}=P_{n} P_{m+1}-P_{n-1} P_{m} (d) Montrer que pour tout m∈Nm \in \mathbb{N} et pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on a pgcd⁡(Pm+n,Pn)=pgcd⁡(Pn,Pm).\operatorname{pgcd}\left(P_{m+n}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right) . En déduire que pgcd⁡(Pm,Pn)=pgcd⁡(Pn,Pr)\operatorname{pgcd}\left(P_{m}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{r}\right) où rr est le reste de la division euclidienne de mm par nn. (e) Conclure pgcd⁡(Pn,Pm)=Ppgcd⁡(m,n)\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right)=P_{\operatorname{pgcd}(m, n)}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(Polynômes de Tchebychev (1821-1894)) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. On pose fn:[−1;1]→Rf_{n}:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} l'application définie parfn(x)=cos⁡(narccos⁡x).f_{n}(x)=\cos (n \arccos x) . (a)(a) Calculer f0,f1,f2f_{0}, f_{1}, f_{2} et f3f_{3}. (b)(b) Exprimer fn+1(x)+fn−1(x)f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x) en fonction de fn(x)f_{n}(x). (c)(c) Établir qu'il existe un unique polynôme TnT_{n} de R[X]\mathbb{R}[X] dont la fonction polynomiale associée coïncide avec fnf_{n} sur [−1;1][-1 ; 1]. (d)(d) Donner le degré de TnT_{n} ainsi que son coefficient dominant. (e)(e) Observer que TnT_{n} possède exactement nn racines distinctes, que l'on exprimera, toutes dans ]−1;1[]-1 ; 1[.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Déterminer trois éléments a,b,ca, b, c de C\mathbb{C}, non tous réels, tels que a+b+ca+b+c a2+b2+c2a^{2}+b^{2}+c^{2} et a3+b3+c3a^{3}+b^{3}+c^{3} soient trois réels.
(b) Montrer que, si a,b,ca, b, c sont trois éléments de C\mathbb{C} de modules différents et si a+b+c∈R,a2+b2+c2∈Ra+b+c \in \mathbb{R}, a^{2}+b^{2}+c^{2} \in \mathbb{R} et a3+b3+c3∈Ra^{3}+b^{3}+c^{3} \in \mathbb{R}, alors a,ba, b et cc sont trois réels.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que les sommes des zéros de PP, P′P^{\prime}, …\ldots, P(n−1)P^{(n-1)} sont en progression arithmétique.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Déterminer trois éléments a,b,ca, b, c de C\mathbb{C}, non tous réels, tels que a+b+ca+b+c a2+b2+c2a^{2}+b^{2}+c^{2} et a3+b3+c3a^{3}+b^{3}+c^{3} soient trois réels.
(b) Montrer que, si a,b,ca, b, c sont trois éléments de C\mathbb{C} de modules différents et si a+b+c∈Ra+b+c \in \mathbb{R}, a2+b2+c2∈Ra^{2}+b^{2}+c^{2} \in \mathbb{R} et a3+b3+c3∈Ra^{3}+b^{3}+c^{3} \in \mathbb{R}, alors a,ba, b et cc sont trois réels.
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on pose Pn=∑k=0nXkP_{n}=\sum_{k=0}^{n} X^{k}.
(a) Former la décomposition en facteurs premiers de PnP_{n} dans C[X]\mathbb{C}[X].
(b) En déduire la valeur de ∏k=1nsin⁡kπn+1\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{k \pi}{n+1}.
{a0S1+a1=0<br/>a0S2+a1S1+2a2=0<br/>⋯<br/>a0Sp+a1Sp−1+⋯+ap−1S1+pap=0(0<p≤n)<br/>⋯<br/>a0Sn+a1Sn−1+⋯+anS1=0<br/>⋯<br/>a0Sn+k+a1Sn+k−1+⋯+anSk=0(k>0).\left\{\begin{aligned}a_{0} S_{1}+a_{1} & =0 <br/> a_{0} S_{2}+a_{1} S_{1}+2 a_{2} & =0 <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{p}+a_{1} S_{p-1}+\cdots+a_{p-1} S_{1}+p a_{p} & =0 \quad(0<p \leq n) <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{n}+a_{1} S_{n-1}+\cdots+a_{n} S_{1} & =0 <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{n+k}+a_{1} S_{n+k-1}+\cdots+a_{n} S_{k} & =0 \quad(k>0) .\end{aligned}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} on pose Pn=∑k=0nXkP_{n}=\sum_{k=0}^{n} X^{k}.
(a) Former la décomposition en facteurs premiers de PnP_{n} dans C[X]\mathbb{C}[X].
(b) En déduire la valeur de ∏k=1nsin⁡kπn+1\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{k \pi}{n+1}.
{a0S1+a1=0a0S2+a1S1+2a2=0⋯a0Sp+a1Sp−1+⋯+ap−1S1+pap=0(0<p≤n)⋯a0Sn+a1Sn−1+⋯+anS1=0⋯a0Sn+k+a1Sn+k−1+⋯+anSk=0(k>0).\left\{\begin{aligned}a_{0} S_{1}+a_{1} & =0 \\a_{0} S_{2}+a_{1} S_{1}+2 a_{2} & =0 \\& \cdots \\a_{0} S_{p}+a_{1} S_{p-1}+\cdots+a_{p-1} S_{1}+p a_{p} & =0 \quad(0<p \leq n) \\& \cdots \\a_{0} S_{n}+a_{1} S_{n-1}+\cdots+a_{n} S_{1} & =0 \\& \cdots \\a_{0} S_{n+k}+a_{1} S_{n+k-1}+\cdots+a_{n} S_{k} & =0 \quad(k>0) .\end{aligned}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On considère le polynômeP(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈C[X]P(X)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n} \in \mathbb{C}[X] de racines x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} comptées avec multiplicité.\\ Pour tout p∈Np \in \mathbb{N}, on poseSp=x1p+⋯+xnpS_{p}=x_{1}^{p}+\cdots+x_{n}^{p} Établir1x2+1y2+1z2=(1x+1y+1z)2\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{2}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On considère le polynôme
P(X)=a0Xn+a1Xn−1+⋯+an∈C[X]P(X)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n} \in \mathbb{C}[X]
de racines x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} comptées avec multiplicité.
Pour tout p∈Np \in \mathbb{N}, on pose
Sp=x1p+⋯+xnpS_{p}=x_{1}^{p}+\cdots+x_{n}^{p}
Établir
1x2+1y2+1z2=(1x+1y+1z)2\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{2}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre dans C3\mathbb{C}^{3} le système
{x2+y2+z2=0<br/>x4+y4+z4=0<br/>x5+y5+z5=0\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 <br/> x^{4}+y^{4}+z^{4}=0 <br/> x^{5}+y^{5}+z^{5}=0\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre dans C3\mathbb{C}^{3} le système
{x2+y2+z2=0x4+y4+z4=0x5+y5+z5=0\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=0 \\ x^{5}+y^{5}+z^{5}=0\end{array}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P=X3+aX2+bX+cP=X^{3}+a X^{2}+b X+c un polynôme complexe de racines α,β,γ\alpha, \beta, \gamma.
Calculer
αβ+γ+βγ+α+γα+β\frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P=X3+P=X^{3}+a X2+X^{2}+b X+cX+c un polynôme complexe de racines α,β,γ\alpha, \beta, \gamma. Calculer
\\αβ+γ+βγ+α+γα+β\frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer les triplets (x,y,z)∈C3(x, y, z) \in \mathbb{C}^{3} tels que :
(a)
\left\{\begin{array} { r l } { x + y + z } & { = 1 } \\{ 1 / x + 1 / y + 1 / z } & { = 1 } \\{ x y z } & { = - 4 }\end{array}
(b)
{x(y+z)=1y(z+x)=1z(x+y)=1 \left\{\begin{array}{l}x(y+z)=1 \\y(z+x)=1 \\z(x+y)=1\end{array}\right.
(c)
{x+y+z=2x2+y2+z2=14x3+y3+z3=20 \left\{\begin{aligned}x+y+z & =2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2} & =14 \\x^{3}+y^{3}+z^{3} & =20\end{aligned}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer les triplets (x,y,z)∈C3(x, y, z) \in \mathbb{C}^{3} tels que :
(a) {x+y+z=11/x+1/y+1/z=1xyz=−4\left\{\begin{array} { r l } { x + y + z } & { = 1 } \\{ 1 / x + 1 / y + 1 / z } & { = 1 } \\{ x y z } & { = - 4 }\end{array}\right.
(b) {x(y+z)=1y(z+x)=1z(x+y)=1 \left\{\begin{array}{l}x(y+z)=1 \\y(z+x)=1 \\z(x+y)=1\end{array}\right.
(c) {x+y+z=2x2+y2+z2=14x3+y3+z3=20\left\{\begin{aligned}x+y+z & =2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2} & =14 \\x^{3}+y^{3}+z^{3} & =20\end{aligned}\right.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
On considère l'équation : x3−(2+2)x2+2(2+1)x−22=0x^{3}-(2+\sqrt{2}) x^{2}+2(\sqrt{2}+1) x-2 \sqrt{2}=0 de racines x1,x2x_{1}, x_{2} et x3x_{3}.
(a) Former une équation dont x12,x22x_{1}^{2}, x_{2}^{2} et x32x_{3}^{2} seraient racines.
(b) En déduire les valeurs de x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
On considère l'équation : x3−(2+2)x2+2(2+1)x−22=0x^{3}-(2+\sqrt{2}) x^{2}+2(\sqrt{2}+1) x-2 \sqrt{2}=0 de racines x1,x2x_{1}, x_{2} et x3x_{3}.
(a) Former une équation dont x12,x22x_{1}^{2}, x_{2}^{2} et x32x_{3}^{2} seraient racines.
(b) En déduire les valeurs de x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre x3−8x2+23x−28=0x^{3}-8 x^{2}+23 x-28=0
sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre x3−8x2+23x−28=0x^{3}-8 x^{2}+23 x-28=0
sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ∈C\lambda \in \mathbb{C} pour que X3−7X+λX^{3}-7 X+\lambda admette une racine qui soit le double d'une autre.
Résoudre alors l'équation.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ∈C\lambda \in \mathbb{C} pour que X3−7X+λX^{3}-7 X+\lambda admette une racine qui soit le double d'une autre.
Résoudre alors l'équation.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver les racines dans C\mathbb{C} du polynôme X4+12X−5X^{4}+12 X-5
sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver les racines dans C\mathbb{C} du polynôme X4+12X−5X^{4}+12 X-5
sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient a∈]0;π[a \in] 0 ; \pi\left[\right. et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
Factoriser dans C[X]\mathbb{C}[X] puis dans R[X]\mathbb{R}[X] le polynôme
X2n−2cos⁡(na)Xn+1.X^{2 n}-2 \cos (n a) X^{n}+1 .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient a∈]0;π[a \in] 0 ; \pi\left[\right. et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
Factoriser dans C[X]\mathbb{C}[X] puis dans R[X]\mathbb{R}[X] le polynôme
X2n−2cos⁡(na)Xn+1.X^{2 n}-2 \cos (n a) X^{n}+1 .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Former la décomposition primaire dans R[X]\mathbb{R}[X] de P=X2n+1−1P=X^{2 n+1}-1 (avec n∈Nn \in \mathbb{N} ).""\\
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Former la décomposition primaire dans R[X]\mathbb{R}[X] de P=X2n+1−1P=X^{2 n+1}-1
(avec n∈Nn \in \mathbb{N} ).
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Factoriser le polynôme (X+i)n−(X−i)n(X+\mathrm{i})^{n}-(X-\mathrm{i})^{n} pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Factoriser dans R[X]\mathbb{R}[X] les polynômes suivants :
(a) X4+X2+1X^{4}+X^{2}+1
(b) X4+X2−6X^{4}+X^{2}-6
(c) X8+X4+1X^{8}+X^{4}+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Factoriser le polynôme (X+i)n−(X−i)n(X+\mathrm{i})^{n}-(X-\mathrm{i})^{n} pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Factoriser dans C[X]\mathbb{C}[X] puis dans R[X]\mathbb{R}[X] les polynômes suivants :
(a) X4−1X^{4}-1
(b) X5−1X^{5}-1
(c) (X2−X+1)2+1\left(X^{2}-X+1\right)^{2}+1.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Factoriser dans R[X]\mathbb{R}[X] les polynômes suivants :
(a) X4+X2+1X^{4}+X^{2}+1
(b) X4+X2−6X^{4}+X^{2}-6
(c) X8+X4+1X^{8}+X^{4}+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] vérifiant
P(X2)=P(X)P(X−1). P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X-1) \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Factoriser dans C[X]\mathbb{C}[X] puis dans R[X]\mathbb{R}[X] les polynômes suivants :
(a) X4−1X^{4}-1
(b) X5−1X^{5}-1
(c) (X2−X+1)2+1\left(X^{2}-X+1\right)^{2}+1.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Déterminer les polynômes PP de R[X]\{0}\mathbb{R}[X] \backslash\{0\} vérifiant
P(X2)=P(X−1)P(X).P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] vérifiant
P(X2)=P(X)P(X−1). P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X-1) \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Déterminer les polynômes PP de R[X]\{0}\mathbb{R}[X] \backslash\{0\} vérifiant
P(X2)=P(X−1)P(X).P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) .
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On cherche les polynômes PP non nuls tels queP(X2)=P(X−1)P(X). P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) \text {. }
(a) Montrer que toute racine d'un tel PP est de module 1 .
(b) Déterminer les polynômes PP.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
On cherche les polynômes PP non nuls tels queP(X2)=P(X−1)P(X). P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) \text {. }
(a) Montrer que toute racine d'un tel PP est de module 1 .
(b) Déterminer les polynômes PP.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] vérifiant
P(X2)=P(X)P(X+1). P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1) \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] vérifiant
P(X2)=P(X)P(X+1). P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1) \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Montrer que si P∈R[X]\{0}P \in \mathbb{R}[X] \backslash\{0\} vérifie
P(X2)=P(X)P(X+1)P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1)
ses racines sont parmi 0,1,−j,−j20,1,-j,-j^{2}.
En déduire tous les polynômes solutions.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Montrer que si P∈R[X]\{0}P \in \mathbb{R}[X] \backslash\{0\} vérifie
P(X2)=P(X)P(X+1)P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1)
ses racines sont parmi 0,1,−j,−j20,1,-j,-j^{2}.
En déduire tous les polynômes solutions.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme non nul tel que P(X2)+P(X)P(X+1)=0P\left(X^{2}\right)+P(X) P(X+1)=0
(a) Montrer que si aa est racine de PP alors a2a^{2} l'est aussi.
(b) En déduire que a=0a=0 ou bien aa est racine de l'unité.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme non nul tel queP(X2)+P(X)P(X+1)=0P\left(X^{2}\right)+P(X) P(X+1)=0 \\ (a) Montrer que si aa est racine de PP alors a2a^{2} l'est aussi.
(b) En déduire que a=0a=0 ou bien aa est racine de l'unité.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] et a,ba, b deux entiers relatifs avec b>0b>0 et b\sqrt{b} irrationnel.
(a) Exemple : montrer que 6\sqrt{6} est irrationnel.
(b) Quelle est la forme de (a+b)n(a+\sqrt{b})^{n} ?
(c) Montrer que si a+ba+\sqrt{b} est racine de PP alors a−ba-\sqrt{b} aussi.
(d) On suppose que a+ba+\sqrt{b} est racine double de PP. Montrer que P=RQ2P=R Q^{2} avec RR et QQ dans Z[X]\mathbb{Z}[X].
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈Z[X]P \in \mathbb{Z}[X] et a,ba, b deux entiers relatifs avec b>0b>0 et b\sqrt{b} irrationnel.
(a) Exemple : montrer que 6\sqrt{6} est irrationnel.
(b) Quelle est la forme de (a+b)n(a+\sqrt{b})^{n} ?
(c) Montrer que si a+ba+\sqrt{b} est racine de PP alors a−ba-\sqrt{b} aussi.
(d) On suppose que a+ba+\sqrt{b} est racine double de PP. Montrer que P=RQ2P=R Q^{2} avec RR et QQ dans Z[X]\mathbb{Z}[X].
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] tels que
P(1)=1,P(1)=1,
P(2)=2,P(2)=2,
P′(1)=3,P^{\prime}(1)=3,
P′(2)=4,P^{\prime}(2)=4,
P′′(1)=5 et P^{\prime \prime}(1)=5 \text { et }
P′′(2)=6. P^{\prime \prime}(2)=6 \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Trouver les P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] tels que
P(1)=1,P(1)=1,
P(2)=2,P(2)=2,
P′(1)=3,P^{\prime}(1)=3,
P′(2)=4,P^{\prime}(2)=4,
P′′(1)=5P^{\prime \prime}(1)=5
 et P′′(2)=6.  \text { et } P^{\prime \prime}(2)=6 \text {. }
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer les PP de R[X]\mathbb{R}[X] tels que \\ (X+4)P(X)=XP(X+1)(X+4) P(X)=X P(X+1)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer les PP de R[X]\mathbb{R}[X] tels que
(X+4)P(X)=XP(X+1)(X+4) P(X)=X P(X+1)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n∈Nn \in \mathbb{N} pour que
X2+X+1∣X2n+Xn+1X^{2}+X+1 \mid X^{2 n}+X^{n}+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n∈Nn \in \mathbb{N} pour que
X2+X+1∣X2n+Xn+1X^{2}+X+1 \mid X^{2 n}+X^{n}+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Justifier
∀(n,p,q)∈N3,\forall(n, p, q) \in \mathbb{N}^{3},
1+X+X2∣X3n+X3p+1+X3q+21+X+X^{2} \mid X^{3 n}+X^{3 p+1}+X^{3 q+2}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Justifier
∀(n,p,q)∈N3,1+X+X2∣X3n+X3p+1+X3q+2\forall(n, p, q) \in \mathbb{N}^{3}, 1+X+X^{2} \mid X^{3 n}+X^{3 p+1}+X^{3 q+2}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Justifier les divisibilités suivantes :
(a) ∀n∈N,X2∣(X+1)n−nX−1\forall n \in \mathbb{N}, X^{2} \mid(X+1)^{n}-n X-1
(b) ∀n∈N∗,(X−1)3∣nXn+2−(n+2)⋅Xn+1+(n+2)X−n\forall n \in \mathbb{N}^{*},(X-1)^{3} \mid n X^{n+2}-(n+2) \cdot X^{n+1}+(n+2) X-n
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Justifier les divisibilités suivantes :
(a) ∀n∈N,X2∣(X+1)n−nX−1\forall n \in \mathbb{N}, X^{2} \mid(X+1)^{n}-n X-1
(b) ∀n∈N∗,(X−1)3∣nXn+2−(n+2)⋅Xn+1+(n+2)X−n\forall n \in \mathbb{N}^{*},(X-1)^{3} \mid n X^{n+2}-(n+2) \cdot X^{n+1}+(n+2) X-n
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient pp et qq deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer
(Xp−1)(Xq−1)∣(X−1)(Xpq−1)\left(X^{p}-1\right)\left(X^{q}-1\right) \mid(X-1)\left(X^{p q}-1\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient pp et qq deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer
(Xp−1)(Xq−1)∣(X−1)(Xpq−1)\left(X^{p}-1\right)\left(X^{q}-1\right) \mid(X-1)\left(X^{p q}-1\right)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient K\mathbb{K} un corps et a1,a2,…,an∈Ka_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K} deux à deux distincts.
(a) Calculer∑i=1n∏j≠iX−ajai−aj\sum_{i=1}^{n} \prod_{j \neq i} \frac{X-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}
(b) On pose A(X)=∏j=1n(X−aj)A(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(X-a_{j}\right). Calculer∑i=1n1A′(ai)\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{A^{\prime}\left(a_{i}\right)}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient K\mathbb{K} un corps et a1,a2,…,an∈Ka_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K} deux à deux distincts.
(a) Calculer∑i=1n∏j≠iX−ajai−aj\sum_{i=1}^{n} \prod_{j \neq i} \frac{X-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}
(b) On pose A(X)=∏j=1n(X−aj)A(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(X-a_{j}\right). Calculer∑i=1n1A′(ai)\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{A^{\prime}\left(a_{i}\right)}
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Montrer que a=cos⁡(π/9)a=\cos (\pi / 9) est racine d'un polynôme de degré trois à coefficients dans Z\mathbb{Z}.
(b) Justifier que le nombre aa est irrationnel.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a)(a) Montrer que a=cos⁡(π/9)a=\cos (\pi / 9) est racine d'un polynôme de degré trois à coefficients dans Z\mathbb{Z}.
(b)(b) Justifier que le nombre aa est irrationnel.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Exprimer sin⁡((2n+1)α)\sin ((2 n+1) \alpha) en fonction de sin⁡α\sin \alpha et cos⁡α\cos \alpha.
(b) En déduire que les racines du polynôme :P(X)=∑p=0n(−1)p(2n+12p+1)Xn−pP(X)=\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\left(\begin{array}{l}2 n+1 \\2 p+1\end{array}\right) X^{n-p}sont de la forme xk=cot⁡2βkx_{k}=\cot ^{2} \beta_{k}.
Déterminer les βk\beta_{k}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
(a) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Exprimer sin⁡((2n+1)α)\sin ((2 n+1) \alpha) en fonction de sin⁡α\sin \alpha et cos⁡α\cos \alpha.
(b) En déduire que les racines du polynôme :
P(X)=∑p=0n(−1)p(2n+12p+1)Xn−pP(X)=\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\left(\begin{array}{l}2 n+1 \\2 p+1\end{array}\right) X^{n-p} sont de la forme xk=cot⁡2βkx_{k}=\cot ^{2} \beta_{k}.
Déterminer les βk\beta_{k}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a,b,ca, b, c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K\mathbb{K}.
Démontrer que le polynôme P=X(X−b)(X−c)a(a−b)(a−c)+X(X−c)(X−a)b(b−c)(b−a)+X(X−a)(X−b)c(c−a)(c−b)P=\frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)}
peut s'écrire sous la forme P=λ(X−a)(X−b)(X−c)+1P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1 où λ\lambda est une constante que l'on déterminera.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a,b,ca, b, c trois éléments, non nuls et distincts, du corps K\mathbb{K}.
Démontrer que le polynômeP=X(X−b)(X−c)a(a−b)(a−c)+X(X−c)(X−a)b(b−c)(b−a)+X(X−a)(X−b)c(c−a)(c−b)P=\frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)}
peut s'écrire sous la forme P=λ(X−a)(X−b)(X−c)+1P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1 où λ\lambda est une constante que l'on déterminera.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) SoitP=anXn+an−1Xn−1+…+a1X+a0P=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0}un polynôme à coefficients entiers tel que an≠0a_{n} \neq 0 et a0≠0a_{0} \neq 0.\\On suppose que PP admet une racine rationnelle r=p/qr=p / q exprimée sous forme irréductible.Montrer que $p \mid a_{0}$ et $q \mid a_{n}$.\\ (b) FactoriserP=2 X^{3}-X^{2}-13 X+5 \text {. }(c)Lepolyno^me\\ (c) Le polynômeP=X^{3}+3 X-1$$est-il irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ ?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Soit P=anXn+an−1Xn−1+…+a1X+a0P=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0} un polynôme à coefficients entiers tel que an≠0a_{n} \neq 0 et a0≠0a_{0} \neq 0. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r=p / q$ exprimée sous forme irréductible. Montrer que p∣a0p \mid a_{0} et q∣anq \mid a_{n}. (b) Factoriser P=2X3−X2−13X+5. P=2 X^{3}-X^{2}-13 X+5 \text {. } (c) Le polynôme P=X3+3X−1P=X^{3}+3 X-1 est-il irréductible dans Q[X]\mathbb{Q}[X] ?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X]. \\ On suppose que a∈Ra \in \mathbb{R} vérifie P(a)>0 et ∀k∈N∗,P(k)(a)≥0P(a)>0 \text { et } \forall k \in \mathbb{N}^{*}, P^{(k)}(a) \geq 0 \\ Montrer que le polynôme PP ne possède pas de racines dans [a;+∞[[a ;+\infty[.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X].
On suppose que a∈Ra \in \mathbb{R} vérifie
P(a)>0 et ∀k∈N∗,P(k)(a)≥0P(a)>0 \text { et } \forall k \in \mathbb{N}^{*}, P^{(k)}(a) \geq 0
Montrer que le polynôme PP ne possède pas de racines dans [a;+∞[[a ;+\infty[.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver tous les polynômes P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] tels que

∀k∈Z,∫kk+1P(t)dt=k+1\forall k \in \mathbb{Z}, \int_{k}^{k+1} P(t) \mathrm{d} t=k+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver tous les polynômes P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] tels que ∀k∈Z, \forall k \in \mathbb{Z}, ∫kk+1P(t)dt=k+1 \int_{k}^{k+1} P(t) \mathrm{d} t=k+1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X]. \\ Montrer \\ P(X+1)=∑n=0+∞1n!P(n)(X)P(X+1)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n !} P^{(n)}(X)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
Montrer P(X+1)=∑n=0+∞1n!P(n)(X)P(X+1)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n !} P^{(n)}(X)
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Montrer que pour tout entier naturel nn, il existe un unique polynôme Pn∈R[X]P_{n} \in \mathbb{R}[X] tel quePn−Pn′=XnP_{n}-P_{n}^{\prime}=X^{n}
Exprimer les coefficients de PnP_{n} à l'aide de nombres factoriels.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Montrer que pour tout entier naturel nn, il existe un unique polynôme Pn∈R[X]P_{n} \in \mathbb{R}[X] tel que
Pn−Pn′=XnP_{n}-P_{n}^{\prime}=X^{n}
Exprimer les coefficients de PnP_{n} à l'aide de nombres factoriels.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre les équations suivantes :
(a)(a) P′2=4PP^{\prime 2}=4 P d'inconnue P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X]
(b)(b) (X2+1)P′′−6P=0\left(X^{2}+1\right) P^{\prime \prime}-6 P=0 d'inconnue P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Résoudre les équations suivantes :
(a) P′2=4PP^{\prime 2}=4 P d'inconnue P∈K[X]<br/>(b)P \in \mathbb{K}[X]<br/> (b) \left(X^{2}+1\right) P^{\prime \prime}-6 P=0d′inconnue d'inconnue P \in \mathbb{K}[X]$.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit PP un polynôme réel unitaire de degré n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que PP est scindé sur R\mathbb{R} si, et seulement si,
pour tout zz complexe
∣Im⁡(z)∣n≤∣P(z)∣|\operatorname{Im}(z)|^{n} \leq|P(z)|
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit PP un polynôme réel unitaire de degré n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer que PP est scindé sur R\mathbb{R} si, et seulement si, pour tout zz complexe
∣Im⁡(z)∣n≤∣P(z)∣|\operatorname{Im}(z)|^{n} \leq|P(z)|
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] scindé à racines simples.
Montrer qu'aucun coefficient nul de PP ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] simplement scindé sur R\mathbb{R}.
Montrer que PP ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] scindé sur R\mathbb{R}.
Montrer que pour tout réel α\alpha,
le polynôme P′+αPP^{\prime}+\alpha P est lui aussi scindé sur R\mathbb{R}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] scindé à racines simples dans R\mathbb{R}.
Montrer que pour tout α∈R∗\alpha \in \mathbb{R}^{*} les racines de P2+α2P^{2}+\alpha^{2} dans C\mathbb{C} sont toutes simples.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
(a) Si P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] est scindé sur R\mathbb{R}, montrer que P′P^{\prime} est scindé ou constant sur R\mathbb{R}.
(b) Si(a,b,c)∈R3\mathrm{Si}(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}, montrer que X10+aX9+bX8+cX7+X+1X^{10}+a X^{9}+b X^{8}+c X^{7}+X+1 n'est pas scindé sur R\mathbb{R}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit PP un polynôme de degré n+1∈N∗n+1 \in \mathbb{N}^{*} à coefficients réels possédant n+1n+1 racines réelles distinctes.
(a) Montrer que son polynôme dérivé P′P^{\prime} possède exactement nn racines réelles distinctes.
(b) En déduire que les racines du polynôme P2+1P^{2}+1 sont toutes simples dans C\mathbb{C}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable. On suppose que ff s'annule au moins nn fois. Montrer que f′f^{\prime} s'annule au moins n−1n-1 fois.
(b) Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] un polynôme scindé à racines simples avec n=deg⁡P≥2n=\operatorname{deg} P \geq 2. Montrer que le polynôme P′P^{\prime} est lui aussi scindé.
(c) Montrer que le résultat perdure même si les racines de PP ne sont pas simples.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] scindé de degré ≥2\geq 2; on veut montrer que le polynôme P′P^{\prime} est lui aussi scindé.
(a) Énoncer le théorème de Rolle.
(b) Si x0x_{0} est racine de PP de multiplicité m≥1m \geq 1, déterminer sa multiplicité dans P′P^{\prime} ?
(c) Prouver le résultat énoncé
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit PP un polynôme complexe non constant.
Existe-t-il λ∈C\lambda \in \mathbb{C} tel que P−λP-\lambda soit scindé à racines simples?
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles.
Montrer que le polynôme P+PˉP+\bar{P} est scindé dans R[X]\mathbb{R}[X].
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P(X)=Xn+an−1Xn−1+⋯+a1X+a0∈C[X] P(X)=X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \in \mathbb{C}[X] Montrer que si ξ\xi est racine de PP alors ∣ξ∣≤1+max⁡0≤k≤n−1∣ak∣ |\xi| \leq 1+\max _{0 \leq k \leq n-1}\left|a_{k}\right|
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P=a0+a1X+⋯+anXn∈C[X]P=a_{0}+a_{1} X+\cdots+a_{n} X^{n} \in \mathbb{C}[X].
On pose
M=sup⁡∣z∣=1∣P(z)∣M=\sup _{|z|=1}|P(z)|
Montrer
∀k∈{0,…,n},∣ak∣≤M\forall k \in\{0, \ldots, n\},\left|a_{k}\right| \leq M
On pourra employer des racines de l'unité.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] non constant et tel que P(0)=1P(0)=1.
Montrer que :
∀ε>0,∃z∈C,∣z∣<ε et ∣P(z)∣<1\forall \varepsilon>0, \exists z \in \mathbb{C},|z|<\varepsilon \text { et }|P(z)|<1
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X].
Montrer qu'il y a équivalence entre :
(i) ∀x∈R,P(x)≥0\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \geq 0;
(ii) ∃(A,B)∈R[X]2,P=A2+B2\exists(A, B) \in \mathbb{R}[X]^{2}, P=A^{2}+B^{2}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (Pn)n∈N∗\left(P_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} la suite de polynômes définie par
P1=X−2 et ∀n∈N∗,Pn+1=Pn2−2P_{1}=X-2 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}^{*}, P_{n+1}=P_{n}^{2}-2
Calculer le coefficient de X2X^{2} dans PnP_{n}.
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 5
(a)(a) Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, développer le polynôme(1+X)(1+X2)(1+X4)…(1+X2n)(1+X)\left(1+X^{2}\right)\left(1+X^{4}\right) \ldots\left(1+X^{2^{n}}\right)
(b)(b) En déduire que tout entier p>0p>0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2:1,2,4,8,…2: 1,2,4,8, \ldots
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 3
Trouver les P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] tels que P(X2)=(X2+1)P(X)P\left(X^{2}\right)=\left(X^{2}+1\right) P(X).

12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Maths
Algèbre
Difficulté 4
Résoudre les équations suivantes :
(a) Q2=XP2Q^{2}=X P^{2} d'inconnues P,Q∈K[X]P, Q \in \mathbb{K}[X]
(b) P∘P=PP \circ P=P d'inconnue P∈K[X]P \in \mathbb{K}[X].
12COMMENCER L'EXERCICE
12VOIR LA SOLUTION VIDEO
Boost your result with our e-learnin appBoost your result with our e-learnin app
Apprendre
Contenu
New
Exercices
QCM
Flashcards
Jeux
Tests
Liens rapides
Login / S’inscrire
Formules
News & Blog
Lives
Télécharger app
Contact
Autres liens
Parents
Objectif Bac
Resources
Parrainage
Confidentialité
Termes
FR
-
EN
Studeo AI Featured on topAI.toolsStudeo AI Featured on topAI.toolsStudeo AI Featured on topAI.tools