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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit PP un polynôme de degré nn vérifiant
∫01xkP(x)dx=0 pour tout k∈⟦1;n⟧.\int_{0}^{1} x^{k} P(x) \mathrm{d} x=0 \quad \text { pour tout } k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket .
Montrer
∫01(P(x))2 dx=(n+1)2(∫01P(x)dx)2\int_{0}^{1}(P(x))^{2} \mathrm{~d} x=(n+1)^{2}\left(\int_{0}^{1} P(x) \mathrm{d} x\right)^{2}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit pp et nn deux entiers avec 0≤p<n0 \leq p<n. \\ Former la décomposition en éléments simples dans C[X]\mathbb{C}[X] de \\ XpXn−1\frac{X^{p}}{X^{n}-1}
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnP(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n} un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.
(a) Montrer
∀x∈R,(P′2−PP′′)(x)≥0\forall x \in \mathbb{R},\left(P^{\prime 2}-P P^{\prime \prime}\right)(x) \geq 0
(b) En déduire
∀k∈{1,…,n−1},ak−1ak+1≤ak2\forall k \in\{1, \ldots, n-1\}, a_{k-1} a_{k+1} \leq a_{k}^{2}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a1,…,an∈Ca_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{C}, deux à deux distincts, et α1,…,αn∈C\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{C}, deux à deux distincts, tels que

∀i,j∈{1,2,…,n},ai+αj≠0.\forall i, j \in\{1,2, \ldots, n\}, a_{i}+\alpha_{j} \neq 0 .

Résoudre le système

{x1a1+α1+x2a2+α1+⋯+xnan+α1=1x1a1+α2+x2a2+α2+⋯+xnan+α2=1⋮x1a1+αn+x2a2+αn+⋯+xnan+αn=1.\left\{\begin{array}{c}\frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{1}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{1}}=1 \\ \frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{2}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{2}}=1 \\ \vdots \\ \frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{n}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{n}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{n}}=1 .\end{array}\right.$
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit P∈Rn[X]P \in \mathbb{R}_{n}[X] scindé à racines simples (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right).
Montrer
∑k=1nP′′(xk)P′(xk)=0\sum_{k=1}^{n} \frac{P^{\prime \prime}\left(x_{k}\right)}{P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=0
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme scindé à racines simples : x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}.
(a) Former la décomposition en éléments simples de P′′/PP^{\prime \prime} / P.
(b) En déduire que ∑k=1nP′′(xk)P′(xk)=0\sum_{k=1}^{n} \frac{P^{\prime \prime}\left(x_{k}\right)}{P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=0
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme scindé à racines simples x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n}.
(a) Former la décomposition en éléments simples de la fraction 1/P1 / P.
(b) On suppose P(0)≠0P(0) \neq 0. Observer
∑k=1n1xkP′(xk)=−1P(0)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k} P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=-\frac{1}{P(0)}
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et z1,z2,…,zn∈Cz_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C} deux à deux distincts. On pose Q=∏k=1n(X−zk)Q=\prod_{k=1}^{n}\left(X-z_{k}\right)
(a) Pour p∈{0,1,…,n−1}p \in\{0,1, \ldots, n-1\}, exprimer la décomposition en éléments simples de Xp/QX^{p} / Q à l'aide des Q′(zk)Q^{\prime}\left(z_{k}\right).
(b) En déduire, pour p∈{0,1,…,n−1}p \in\{0,1, \ldots, n-1\}, la valeur de ∑k=1nzkpQ′(zk)\sum_{k=1}^{n} \frac{z_{k}^{p}}{Q^{\prime}\left(z_{k}\right)}
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Maths
Algèbre
Difficulté 5
Soient n∈Nn \in \mathbb{N} tel que n≥2n \geq 2 et p∈{0,1,…,n−1}p \in\{0,1, \ldots, n-1\}.
On pose pourk∈{0,1,…,n−1},ωk=exp⁡(2ikπn)k \in\{0,1, \ldots, n-1\}, \omega_{k}=\exp \left(\frac{2 \mathrm{i} k \pi}{n}\right).
Mettre sous forme irréductible la fraction
∑k=0n−1ωkpX−ωk\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\omega_{k}^{p}}{X-\omega_{k}}
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
On pose ωk=e2ikπ/n\omega_{k}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} k \pi / n} avec k∈{0,…,n−1}k \in\{0, \ldots, n-1\} et n≥2n \geq 2.
Réduire au même dénominateur
F=∑k=0n−11X−ωkF=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X-\omega_{k}}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit F=1(X−1)3(X+1)3.F=\frac{1}{(X-1)^{3}(X+1)^{3}} .
(a) Quelle relation existe entre la partie polaire de FF en 1 et celle en -1 .
(b) Former la décomposition en éléments simples de la fraction FF.
(c) En déduire un couple (U,V)∈R[X]2(U, V) \in \mathbb{R}[X]^{2} tel que :
(X+1)3U+(X−1)3V=1(X+1)^{3} U+(X-1)^{3} V=1
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit F=1X2+1∈C(X) F=\frac{1}{X^{2}+1} \in \mathbb{C}(X) (a) En réalisant la décomposition en éléments simples de FF, exprimer F(n)F^{(n)}.
(b) Montrer qu'il existe Pn∈Rn[X]P_{n} \in \mathbb{R}_{n}[X] tel queF(n)=Pn(X2+1)n+1 F^{(n)}=\frac{P_{n}}{\left(X^{2}+1\right)^{n+1}} (c) Déterminer les zéros de PnP_{n}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Exprimer la dérivée d'ordre nn de
1X(X2+1)\frac{1}{X\left(X^{2}+1\right)}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit la fractionF=1X(X+1)F=\frac{1}{X(X+1)} (a)(a) Réaliser la décomposition en éléments simples de FF. (b)(b) En déduire une simplification pour n≥1n \geq 1 de ∑k=1n1k(k+1)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}. (c)(c) Procéder de même pour calculer : ∑k=1n1k(k+1)(k+2)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Décomposer en éléments simples dans C(X)\mathbb{C}(X) la fraction rationnelle
Xn−1Xn−1\frac{X^{n-1}}{X^{n}-1}
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Effectuer la décomposition en éléments simples dans C(X)\mathbb{C}(X) des fractions rationnelles suivantes :
(a) X2+2X+5X2−3X+2\frac{X^{2}+2 X+5}{X^{2}-3 X+2}
(d) 2XX2+1\frac{2 X}{X^{2}+1}
(b) X2+1(X−1)(X−2)(X−3)\frac{X^{2}+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}
(e) 1X2+X+1\frac{1}{X^{2}+X+1}
(c) 1X(X−1)2\frac{1}{X(X-1)^{2}}
(f) 4(X2+1)2\frac{4}{\left(X^{2}+1\right)^{2}}
(g) 3X−1X2(X+1)2\frac{3 X-1}{X^{2}(X+1)^{2}}
(h) 1X4+X2+1\frac{1}{X^{4}+X^{2}+1}
(i) 3(X3−1)2\frac{3}{\left(X^{3}-1\right)^{2}}
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Maths
Algèbre
Difficulté 5
Montrer qu'il n'existe pas de F∈C(X)F \in \mathbb{C}(X) telle que
F′=1XF^{\prime}=\frac{1}{X}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit F∈K(X)F \in \mathbb{K}(X).
(a) Soit aa un zéro d'ordre α≥1\alpha \geq 1 de FF. Montrer que aa est zéro d'ordre α−1\alpha-1 de F′F^{\prime}.
(b) Comparer les pôles de FF et de F′F^{\prime}, ainsi que leur ordre de multiplicité.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient pp et qq deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Déterminer les racines et les pôles de
F=Xp−1Xq−1F=\frac{X^{p}-1}{X^{q}-1}
en précisant les multiplicités respectives.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Déterminer un supplémentaire de K[X]\mathbb{K}[X] dans K(X)\mathbb{K}(X).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit F∈K(X)F \in \mathbb{K}(X).
Montrer que deg⁡F′<deg⁡F−1⟹deg⁡F=0\operatorname{deg} F^{\prime}<\operatorname{deg} F-1 \Longrightarrow \operatorname{deg} F=0.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle FF telle que
F2=XF^{2}=X.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} des complexes deux à deux distincts et P=(X−λ1)…(X−λn)P=\left(X-\lambda_{1}\right) \ldots\left(X-\lambda_{n}\right).
Exprimer en fonction de PP et de ses dérivées les fractions
F=∑k=1n1X−λk,G=∑k=1n1(X−λk)2 et H=∑1≤k,ℓ≤nk≠ℓ1(X−λk)(X−λℓ)F=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{X-\lambda_{k}}, \quad G=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(X-\lambda_{k}\right)^{2}} \quad \text { et } \quad H=\sum_{\substack{1 \leq k, \ell \leq n \\ k \neq \ell}} \frac{1}{\left(X-\lambda_{k}\right)\left(X-\lambda_{\ell}\right)}
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit F∈C(X)F \in \mathbb{C}(X) telle que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} non pôle de F,F(n)∈QF, F(n) \in \mathbb{Q}.
Montrer que F∈Q(X)F \in \mathbb{Q}(X).
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et ω=ei2πn\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{n}}.
(a) Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] un polynôme vérifiant P(ωX)=P(X)P(\omega X)=P(X)
Montrer qu'il existe un polynôme Q∈C[X]Q \in \mathbb{C}[X] tel que P(X)=Q(Xn)P(X)=Q\left(X^{n}\right)
(b) En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelleF=∑k=0n−1X+ωkX−ωkF=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{X+\omega^{k}}{X-\omega^{k}}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit F∈K(X)F \in \mathbb{K}(X) de représentant irréductible P/QP / Q.
Montrer que FF est paire si, et seulement si, les polynômes PP et QQ sont tous deux pairs.
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