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Maths
Algèbre
Difficulté 3
(a) Montrer que la famille (X+k)n(X+k)^{n} pour k∈{0,…,n}k \in\{0, \ldots, n\} constitue une base de Rn[X]\mathbb{R}_{n}[X].
(b) Redémontrer la formule donnant l'expression du déterminant de Vandermonde
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, qu'il existe un unique Pn∈Rn+1[X]P_{n} \in \mathbb{R}_{n+1}[X] tel que
Pn(0)=0P_{n}(0)=0
et Pn(X+1)−Pn(X)=XnP_{n}(X+1)-P_{n}(X)=X^{n}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient n∈Nn \in \mathbb{N} et A∈Kn[X]A \in \mathbb{K}_{n}[X] un polynôme non nul.
Montrer que F={P∈Kn[X]∣A∣P}F=\left\{P \in \mathbb{K}_{n}[X]|A| P\right\} est un sous-espace vectoriel de Kn[X]\mathbb{K}_{n}[X]
et en déterminer la dimension et un supplémentaire.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE l'espace vectoriel des applications de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}.
On considère FF la partie de EE constituée des applications de la forme :
x↦P(x)sin⁡x+Q(x)cos⁡x avec P,Q∈Rn[X]x \mapsto P(x) \sin x+Q(x) \cos x \text { avec } P, Q \in \mathbb{R}_{n}[X]
(a) Montrer que FF un sous-espace vectoriel de EE.
(b) Montrer que FF est de dimension finie et déterminer dim⁡F\operatorname{dim} F.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour k∈{0,…,n}k \in\{0, \ldots, n\}, on pose Pk=(X+1)k+1−Xk+1P_{k}=(X+1)^{k+1}-X^{k+1}.
Montrer que la famille (P0,…,Pn)\left(P_{0}, \ldots, P_{n}\right) est une base de Kn[X]\mathbb{K}_{n}[X].
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient P1=X2+1,P_{1}=X^{2}+1,
P2=X2+X−1P_{2}=X^{2}+X-1
et P3=X2+XP_{3}=X^{2}+X.
Montrer que la famille (P1,P2,P3)\left(P_{1}, P_{2}, P_{3}\right) est une base de K2[X]\mathbb{K}_{2}[X].
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit EE l'ensemble des applications f:[−1;1]→Rf:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} continues telles que les restrictions f∣[−1;0]\left.f\right|_{[-1 ; 0]} et f∣[0;1]\left.f\right|_{[0 ; 1]} soient affines.
(a) Montrer que EE est un R\mathbb{R}-espace vectoriel.
(b) Donner une base de EE.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour a∈R+a \in \mathbb{R}_{+}, on note faf_{a} l'application de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R} définie par
fa(t)=cos⁡(at)f_{a}(t)=\cos (a t)
Montrer que la famille (fa)a∈R+\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}_{+}} est une famille libre d'éléments de l'espace de F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour a∈Ra \in \mathbb{R}, on note faf_{a} l'application de R\mathbb{R} vers R\mathbb{R} définie par fa(x)=∣x−a∣f_{a}(x)=|x-a|.
Montrer que la famille (fa)a∈R\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}} est une famille libre d'éléments de l'espace F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit (a,b,c)∈R3(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}.
Les fonctions x↦sin⁡(x+a)x \mapsto \sin (x+a), x↦sin⁡(x+b)x \mapsto \sin (x+b) et x↦sin⁡(x+c)x \mapsto \sin (x+c)
sont-elles linéairement indépendantes?
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit (e1,…,ep)\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right) une famille libre de vecteurs de EE.
Montrer que pour tout a∈E\Vect⁡(e1,…,ep)a \in E \backslash \operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right),
la famille (e1+a,…,ep+a)\left(e_{1}+a, \ldots, e_{p}+a\right) est libre.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit (x⃗1,…,x⃗n)\left(\vec{x}_{1}, \ldots, \vec{x}_{n}\right) une famille libre de vecteurs de EE et α1,…,αn∈K\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{K}.
On pose
u⃗=α1⋅x⃗1+⋯+αn⋅x⃗n et ∀1≤i≤n,y⃗i=x⃗i+u⃗\vec{u}=\alpha_{1} \cdot \vec{x}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \cdot \vec{x}_{n} \text { et } \forall 1 \leq i \leq n, \vec{y}_{i}=\vec{x}_{i}+\vec{u}
À quelle condition sur les αi\alpha_{i}, la famille (y⃗1,…,y⃗n)\left(\vec{y}_{1}, \ldots, \vec{y}_{n}\right) est-elle libre?
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Pour tout entier 0≤k≤n0 \leq k \leq n, on pose fk:R→Rf_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la fonction définie par fk(x)=ek⋅xf_{k}(x)=\mathrm{e}^{k \cdot x}.
Montrer que la famille (fk)0≤k≤n\left(f_{k}\right)_{0 \leq k \leq n} est une famille libre de F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
On pose f1,f2,f3,f4:[0;2π]→Rf_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}:[0 ; 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R} les fonctions définies par :
f1(x)=cos⁡xf_{1}(x)=\cos x,
f2(x)=xcos⁡xf_{2}(x)=x \cos x,
f3(x)=sin⁡xf_{3}(x)=\sin x et
f4(x)=xsin⁡xf_{4}(x)=x \sin x.
Montrer que la famille (f1,f2,f3,f4)\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}\right) est libre.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Les familles suivantes de vecteurs de R3\mathbb{R}^{3} sont-elles libres?
Si ce n'est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :
(a) (x1,x2)\left(x_{1}, x_{2}\right) avec x1=(1,0,1)x_{1}=(1,0,1) et x2=(1,2,2)x_{2}=(1,2,2)
(b) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(1,0,0),x2=(1,1,0)x_{1}=(1,0,0), x_{2}=(1,1,0) et x3=(1,1,1)x_{3}=(1,1,1)
(c) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(1,2,1),x2=(2,1,−1)x_{1}=(1,2,1), x_{2}=(2,1,-1) et x3=(1,−1,−2)x_{3}=(1,-1,-2)
(d) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(1,−1,1),x2=(2,−1,3)x_{1}=(1,-1,1), x_{2}=(2,-1,3) et x3=(−1,1,−1)x_{3}=(-1,1,-1).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Dans R3\mathbb{R}^{3}, on considère x=(1,−1,1)x=(1,-1,1) et y=(0,1,a)y=(0,1, a) où a∈Ra \in \mathbb{R}.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur aa pour que u=(1,1,2)u=(1,1,2) appartienne à Vect⁡(x,y)\operatorname{Vect}(x, y).
Comparer alors Vect⁡(x,y),Vect⁡(x,u)\operatorname{Vect}(x, y), \operatorname{Vect}(x, u) et Vect⁡(y,u)\operatorname{Vect}(y, u).
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
On considère les vecteurs de R3\mathbb{R}^{3}
u=(1,1,1) et v=(1,0,−1) . u=(1,1,1) \text { et } v=(1,0,-1) \text { . }
Montrer
Vect⁡(u,v)={(2α,α+β,2β)∣α,β∈R}\operatorname{Vect}(u, v)=\{(2 \alpha, \alpha+\beta, 2 \beta) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Comparer Vect⁡(A∩B)\operatorname{Vect}(A \cap B) et Vect⁡(A)∩Vect⁡(B)\operatorname{Vect}(A) \cap \operatorname{Vect}(B).
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient u1,…,unu_{1}, \ldots, u_{n} des vecteurs d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE.
Montrer que l'ensemble F={λ1u1+⋯+λnun∣λ1,…,λn∈K}F=\left\{\lambda_{1} u_{1}+\cdots+\lambda_{n} u_{n} \mid \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{K}\right\} est un sous-espace vectoriel de EE contenant les vecteurs u1,…,unu_{1}, \ldots, u_{n}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit ω∈C\omega \in \mathbb{C}.
On note ω.R={ωx∣x∈R}\omega . \mathbb{R}=\{\omega x \mid x \in \mathbb{R}\}.
Montrer que ω⋅R\omega \cdot \mathbb{R} est un sous-espace vectoriel de C\mathbb{C} vu comme R\mathbb{R}-espace vectoriel.
À quelle condition ω.R\omega . \mathbb{R} est-il un sous-espace vectoriel de C\mathbb{C} vu comme C\mathbb{C}-espace vectoriel?
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Montrer que les parties de F([a;b],R)\mathcal{F}([a ; b], \mathbb{R}) suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
(a) F={f∈C1([a;b],R)∣f′(a)=f′(b)}F=\left\{f \in \mathcal{C}^{1}([a ; b], \mathbb{R}) \mid f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)\right\}
(b) G={f∈C0([a;b],R)∣∫abf(t)dt=0}G=\left\{f \in \mathcal{C}^{0}([a ; b], \mathbb{R}) \mid \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=0\right\}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Les parties de F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?
(a) {f:R→R∣f\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f est monotone }\}
(c) {f:R→R∣f\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f s'annule }\}
(b) {f:R→R∣f\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f s'annule en 0}\}
(d) {f:R→R∣f\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f est impaire }\}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit F={(un)∈RN∣∀n∈N,un+2=nun+1+un}F=\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=n u_{n+1}+u_{n}\right\}.
Montrer que FF est un sous-espace vectoriel de RN\mathbb{R}^{\mathbb{N}}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN\mathbb{R}^{\mathbb{N}} ?
(a) {(un)∈RN∣(un)\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right. bornée }\}
(b) {(un)∈RN∣(un)\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right. monotone }\}
(c) {(un)∈RN∣(un)\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right. convergente }\}
(d) {(un)∈RN∣(un)\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right. arithmétique }\}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient F={(x,y,z)∈R3∣x+y−z=0}F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-z=0\right\} et G={(a−b,a+b,a−3b)∣a,b∈R}G=\{(a-b, a+b, a-3 b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}.
(a) Montrer que FF et GG sont des sous-espaces vectoriels de R3\mathbb{R}^{3}.
(b) Déterminer F∩GF \cap G.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2\mathbb{R}^{2} ?
(a) {(x,y)∈R2∣x≤y}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\}
(b) {(x,y)∈R2∣xy=0}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=0\right\}
(c) {(x,y)∈R2∣x=y}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=y\right\}
(d) {(x,y)∈R2∣x+y=1}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y=1\right\}
(e) {(x,y)∈R2∣x2−y2=0}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-y^{2}=0\right\}
(f) {(x,y)∈R2∣x2+y2=0}\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=0\right\}
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel.
On munit le produit cartésien E×EE \times E de l'addition usuelle
(x,y)+(x′,y′)=(x+x′,y+y′)(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right)
et de la multiplication externe par les complexes définie par
(a+ib)⋅(x,y)=(a.x−b.y,a.y+b⋅x)(a+\mathrm{i} b) \cdot(x, y)=(a . x-b . y, a . y+b \cdot x)
Montrer que E×EE \times E est alors un C\mathbb{C}-espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de EE.
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