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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient HH un hyperplan d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension quelconque
et DD une droite vectorielle non incluse dans HH.
Montrer que DD et HH sont supplémentaires dans EE.
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Les applications entre R\mathbb{R}-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :
(a) f:R3→Rf: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x,y,z)=x+y+2zf(x, y, z)=x+y+2 z
(b) f:R2→Rf: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x,y)=x+y+1f(x, y)=x+y+1
(c) f:R2→Rf: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x,y)=xyf(x, y)=x y
(d) f:R3→Rf: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x,y,z)=x−zf(x, y, z)=x-z ?
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
(Factorisation par un endomorphisme)
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E).
Montrer Ker f⊂Ker⁡g⟺∃h∈L(E),g=h∘f. \text { Ker } f \subset \operatorname{Ker} g \Longleftrightarrow \exists h \in \mathcal{L}(E), g=h \circ f \text {. }
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que f2=0f^{2}=0 avec EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que
∃g∈L(E),f∘g+g∘f=Id⁡E⟺Im⁡f=Ker⁡f\exists g \in \mathcal{L}(E), f \circ g+g \circ f=\operatorname{Id}_{E} \Longleftrightarrow \operatorname{Im} f=\operatorname{Ker} f
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient EE un espace vectoriel, F1F_{1} et F2F_{2} deux sous-espaces vectoriels de EE.
(a) Montrer que si F1F_{1} et F2F_{2} ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.
(b) Montrer que la réciproque est fausse.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Pour p∈Np \in \mathbb{N} et a∈R\{0,1}a \in \mathbb{R} \backslash\{0,1\}, on note SpS_{p} l'ensemble des suites (un)\left(u_{n}\right) vérifiant∃P∈Rp[X],∀n∈N,un+1=aun+P(n)\exists P \in \mathbb{R}_{p}[X], \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=a u_{n}+P(n) (a)(a) Montrer que si u∈Sp,Pu \in S_{p}, P est unique; on le notera PuP_{u}.
(b)(b) Montrer que SpS_{p} est un R\mathbb{R}-espace vectoriel.
(c)(c) Montrer que ϕ\phi, qui à uu associe PuP_{u}, est linéaire et donner une base de son noyau.Que représente son image?
(d)(d) Donner une base de SpS_{p} (on pourra utiliser Rk(X)=(X+1)k−aXkR_{k}(X)=(X+1)^{k}-a X^{k} pour k∈⟦0;p⟧)k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket).
(e)(e) Application: Déterminer la suite (un)\left(u_{n}\right) définie paru0=−2 et un+1=2un−2n+7. u_{0}=-2 \text { et } u_{n+1}=2 u_{n}-2 n+7 \text {. }
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X].
Montrer que la suite (P(n))n∈N(P(n))_{n \in \mathbb{N}} vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} distincts.
Montrer qu'il existe un unique endomorphisme φ\varphi de R[X]\mathbb{R}[X] vérifiant
φ(1)=1,φ(X)=X et ∀P∈R[X],P(a)=P(b)=0⟹φ(P)=0\varphi(1)=1, \varphi(X)=X \text { et } \forall P \in \mathbb{R}[X], P(a)=P(b)=0 \Longrightarrow \varphi(P)=0
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient AA un polynôme non nul de R[X]\mathbb{R}[X] et r:R[X]→R[X]r: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X] l'application définie par :∀P∈R[X],r(P)\forall P \in \mathbb{R}[X], r(P) est le reste de la division euclidienne de PP par AA.
Montrer que rr est un endomorphisme de R[X]\mathbb{R}[X] tel que r2=r∘r=rr^{2}=r \circ r=r.
Déterminer le noyau et l'image de cet endomorphisme.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit φ:Kn+1[X]→Kn[X]\varphi: \mathbb{K}_{n+1}[X] \rightarrow \mathbb{K}_{n}[X] définie par⁡φ(P)=(n+1)P−XP′\operatorname{par} \varphi(P)=(n+1) P-X P^{\prime}.
(a) Justifier que φ\varphi est bien définie et que c'est une application linéaire.
(b) Déterminer le noyau de φ\varphi.
(c) En déduire que φ\varphi est surjective.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit Δ:C[X]→C[X]\Delta: \mathbb{C}[X] \rightarrow \mathbb{C}[X] l'application définie par Δ(P)=P(X+1)−P(X)\Delta(P)=P(X+1)-P(X) (a) Montrer que Δ\Delta est un endomorphisme et que pour tout polynôme PP non constant deg⁡(Δ(P))=deg⁡P−1\operatorname{deg}(\Delta(P))=\operatorname{deg} P-1.
(b) Déterminer Ker Δ\Delta et Im⁡Δ\operatorname{Im} \Delta.
(c) Soit P∈C[X]P \in \mathbb{C}[X] et n∈Nn \in \mathbb{N}. Montrer Δn(P)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)P(X+k)\Delta^{n}(P)=(-1)^{n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) P(X+k)
(d) En déduire que, si deg⁡P<n\operatorname{deg} P<n, alors ∑k=0n(nk)(−1)kP(k)=0\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)(-1)^{k} P(k)=0
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Maths
Algèbre
Difficulté 2
Soient n∈N∗,E=Rn[X]n \in \mathbb{N}^{*}, E=\mathbb{R}_{n}[X] et Δ\Delta l'endomorphisme de EE déterminé par Δ(P)=P(X+1)−P(X)\Delta(P)=P(X+1)-P(X)
(a) Justifier que l'endomorphisme Δ\Delta est nilpotent.
(b) Déterminer des réels a0,…,an,an+1a_{0}, \ldots, a_{n}, a_{n+1} non triviaux vérifiant :
∀P∈Rn[X],∑k=0n+1akP(X+k)=0\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X], \sum_{k=0}^{n+1} a_{k} P(X+k)=0
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient EE et FF des K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies et f∈L(F,E)f \in \mathcal{L}(F, E).
Exprimer la dimension de {g∈L(E,F)∣f∘g∘f=0}\{g \in \mathcal{L}(E, F) \mid f \circ g \circ f=0\} en fonction du rang de ff et des dimensions de EE et FF.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie nn et FF un sous-espace vectoriel de EE de dimension pp. On noteAF={f∈L(E)∣Im⁡f⊂F} et BF={f∈L(E)∣F⊂Ker⁡f}A_{F}=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid \operatorname{Im} f \subset F\} \text { et } B_{F}=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid F \subset \operatorname{Ker} f\} (a)(a) Montrer que AFA_{F} et BFB_{F} sont des sous-espaces vectoriels de L(E)\mathcal{L}(E) et calculer leurs dimensions.
(b)(b) Soient uu un endomorphisme de L(E)\mathcal{L}(E) et φ:L(E)→L(E)\varphi: \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E) définie par φ(f)=u∘f\varphi(f)=u \circ f. Montrer que φ\varphi est un endomorphisme de L(E)\mathcal{L}(E). Déterminer dim⁡Ker⁡φ\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \varphi.
(c)(c) Soit v∈Im⁡φv \in \operatorname{Im} \varphi. Établir que Im⁡v⊂Im⁡u\operatorname{Im} v \subset \operatorname{Im} u. Réciproque? Déterminer rg⁡φ\operatorname{rg} \varphi.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit WW un sous-espace vectoriel de EE.
Soit AA l'ensemble des applications linéaires de EE dans FF s'annulant sur WW.
(a) Montrer que AA est un espace vectoriel.
(b) Trouver la dimension de AA.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit ff un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension finie.
Montrer que l'ensemble des endomorphismes gg de EE tels que f∘g=0f \circ g=0 est un sous-espace vectoriel de L(E)\mathcal{L}(E) de dimension dim⁡E×dim⁡Ker⁡f\operatorname{dim} E \times \operatorname{dim} \operatorname{Ker} f.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies et GG un sous-espace vectoriel de EE. On pose
A={u∈L(E,F)∣G⊂Ker⁡(u)}.A=\{u \in \mathcal{L}(E, F) \mid G \subset \operatorname{Ker}(u)\} .
(a) Montrer que AA est un sous-espace vectoriel de L(E,F)\mathcal{L}(E, F).
(b) Déterminer la dimension de AA.
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Algèbre
Difficulté 4
Soit (φ1,…,φp)\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}\right) une famille de formes linéaires indépendantes d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension n≥1n \geq 1.
(a) Justifier p≤np \leq n.
(b) Déterminer la dimension de F=Ker⁡(φ1)∩…∩Ker⁡(φp)F=\operatorname{Ker}\left(\varphi_{1}\right) \cap \ldots \cap \operatorname{Ker}\left(\varphi_{p}\right).
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE et FF des espaces vectoriels sur K\mathbb{K}, de dimensions finies ou non.
Montrer que (E×F)∗(E \times F)^{*} et E∗×F∗E^{*} \times F^{*} sont isomorphes.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient f1,…,fnf_{1}, \ldots, f_{n} des formes linéaires sur un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension nn.
On suppose qu'il existe x∈Ex \in E non nul tel que
f1(x)=…=fn(x)=0f_{1}(x)=\ldots=f_{n}(x)=0
Montrer que la famille (f1,…,fn)\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right) est liée.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f,gf, g deux formes linéaires non nulles sur EE.
Montrer
∃x∈E,f(x)g(x)≠0. \exists x \in E, f(x) g(x) \neq 0 \text {. }
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n≥1n \geq 1.
Montrer∀x,y∈E,x≠y⟹∃φ∈E∗,φ(x)≠φ(y)\forall x, y \in E, x \neq y \Longrightarrow \exists \varphi \in E^{*}, \varphi(x) \neq \varphi(y)
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} des réels non nuls deux à deux distincts.
On note FjF_{j} l'application de Rn[X]\mathbb{R}_{n}[X] dans R\mathbb{R} définie par
Fj(P)=∫0ajPF_{j}(P)=\int_{0}^{a_{j}} P
Montrer que (F0,F1,…,Fn)\left(F_{0}, F_{1}, \ldots, F_{n}\right) est une base de (Rn[X])∗\left(\mathbb{R}_{n}[X]\right)^{*}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient a0,a1,…,an∈Ra_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} deux à deux distincts.
Montrer qu'il existe (λ0,…,λn)∈Rn+1\left(\lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} unique vérifiant
∀P∈Rn[X],∫01P(t)dt=∑k=0nλkP(ak)\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X], \int_{0}^{1} P(t) \mathrm{d} t=\sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} P\left(a_{k}\right)
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension nn et (f1,f2,…,fn)\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) une famille de formes linéaires sur EE.
On suppose qu'il existe un vecteur x∈Ex \in E non nul tel que pour tout i∈{1,…,n}i \in\{1, \ldots, n\}, fi(x)=0f_{i}(x)=0.
Montrer que la famille (f1,f2,…,fn)\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) est liée dans E∗E^{*}.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et φ\varphi une forme linéaire non nulle sur EE.
Montrer que pour tout u∈E\Ker⁡φ,Ker⁡φu \in E \backslash \operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Ker} \varphi et Vect⁡(u)\operatorname{Vect}(u) sont supplémentaires dans E.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soient (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une famille de vecteurs d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension nn et Φ:L(E)→En\Phi: \mathcal{L}(E) \rightarrow E^{n} l'application définie parΦ(u)=(u(e1),…,u(en))\Phi(u)=\left(u\left(e_{1}\right), \ldots, u\left(e_{n}\right)\right)
À quelle condition sur la famille (e1,…,en)\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) l'application Φ\Phi est-elle un isomorphisme d'espaces vectoriels?
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit f∈L(R6)f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{6}\right) tel que rg⁡f2=3\operatorname{rg} f^{2}=3.
Quels sont les rangs possibles pour ff ?
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n>1n>1 (avec K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C} )
Soit ff un endomorphisme de EE nilpotent d'ordre nn.
On note\mathcal{C}(f)=\{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f=f \circ g\} .$
(a) Montrer que $\mathcal{C}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.
(b) Soit $a$ un vecteur de $E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0_{E}$.Montrer que la famille $\left(a, f(a), \ldots, f^{n-1}(a)\right)$ constitue une base de $E$.
(c) Soit $\varphi_{a}: \mathcal{C}(f) \rightarrow E$ l'application définie par $\varphi_{a}(g)=g(a)$.Montrer que $\varphi_{a}$ est un isomorphisme.
(d) En déduire que\mathcal{C}(f)=\operatorname{Vect}\left(\operatorname{Id}, f, \ldots, f^{n-1}\right) .$$
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Justifier qu'il existe une unique application linéaire de R3\mathbb{R}^{3} dans R2\mathbb{R}^{2} telle que :$$f(1,0,0)=(0,1),
f(1,1,0)=(1,0) \text { et }
f(1,1,1)=(1,1)$
Exprimer $f(x, y, z)$ et déterminer noyau et image de $f$.
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Algèbre
Difficulté 2
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n∈Nn \in \mathbb{N}.
Montrer qu'il existe un endomorphisme ff tel que Im⁡f=Ker⁡f\operatorname{Im} f=\operatorname{Ker} f si, et seulement si, nn est pair.
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Maths
Algèbre
Difficulté 4
Soient EE un C\mathbb{C}-espace vectoriel de dimension finie et p1,…,pmp_{1}, \ldots, p_{m} des projecteurs de EE dont la somme vaut Id⁡E\operatorname{Id}_{E}.
On note F1,…,FmF_{1}, \ldots, F_{m} les images de p1,…,pmp_{1}, \ldots, p_{m}.
MontrerE=⨁k=1mFk.E=\bigoplus_{k=1}^{m} F_{k} .
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Algèbre
Difficulté 3
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels que
g∘f∘g=g et f∘g∘f=f. g \circ f \circ g=g \text { et } f \circ g \circ f=f \text {. }
(a) Montrer que
Im⁡f⊕Ker⁡g=E. \operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} g=E \text {. }
(b) Justifier que
f(Im⁡g)=Im⁡ff(\operatorname{Im} g)=\operatorname{Im} f
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Algèbre
Difficulté 3
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels quef∘g∘f=f et g∘f∘g=g. f \circ g \circ f=f \text { et } g \circ f \circ g=g \text {. }
Montrer que Ker⁡f\operatorname{Ker} f et Im⁡g\operatorname{Im} g sont supplémentaires dans EE.
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Algèbre
Difficulté 4
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels queg∘f∘g=f et f∘g∘f=g. g \circ f \circ g=f \text { et } f \circ g \circ f=g \text {. }\\ (a) Montrer que Ker f=Ker⁡gf=\operatorname{Ker} g et Im⁡f=Im⁡g\operatorname{Im} f=\operatorname{Im} g.\\ On poseF=Ker⁡f=Ker⁡g et G=Im⁡f=Im⁡g. F=\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g \text { et } G=\operatorname{Im} f=\operatorname{Im} g \text {. }\\ (b) Montrer queE=F⊕GE=F \oplus G
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Algèbre
Difficulté 3
Soit ff un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE vérifiant f3=Id⁡Ef^{3}=\operatorname{Id}_{E}.
Montrer
Ker⁡(f−Id⁡E)⊕Im⁡(f−Id⁡E)=E\operatorname{Ker}\left(f-\operatorname{Id}_{E}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(f-\operatorname{Id}_{E}\right)=E
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Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie nn.
Soient uu et vv deux endomorphismes de EE tels que
E=Im⁡u+Im⁡v=Ker⁡u+Ker⁡v.E=\operatorname{Im} u+\operatorname{Im} v=\operatorname{Ker} u+\operatorname{Ker} v .
Établir que d'une part, Im⁡u\operatorname{Im} u et Im⁡v\operatorname{Im} v, d'autre part Ker uu et Ker⁡v\operatorname{Ker} v sont supplémentaires dans EE.
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Algèbre
Difficulté 4
Soit ff un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension finie vérifiant
$rg⁡(f2)=rg⁡(f)$<br/>(a)Eˊtablir<br/>\$\operatorname{rg}\left(f^{2}\right)=\operatorname{rg}(f)\$ <br/> (a) Établir <br/> \Im⁡(f2)=Im⁡(f) et Ker⁡(f2)=Ker⁡(f). $<br/>(b)Montrer<br/>\operatorname{Im}\left(f^{2}\right)=\operatorname{Im}(f) \text { et } \operatorname{Ker}\left(f^{2}\right)=\operatorname{Ker}(f) \text {. }\$ <br/> (b) Montrer <br/> \$\operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Im}(f)=E\$\$
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Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n,fn, f et gg deux endomorphismes de E.
(a) En appliquant le théorème du rang à la restriction hh de ff à l'image de gg, montrer que
rg⁡f+rg⁡g−n≤rg⁡(f∘g)\operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g-n \leq \operatorname{rg}(f \circ g)
(b) Pour n=3n=3, trouver tous les endomorphismes de EE tels que f2=0f^{2}=0.
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Algèbre
Difficulté 3
Soit uu un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension finie.
Montrer ∀k,ℓ∈N,dim⁡(Ker⁡uk+ℓ)≤dim⁡(Ker⁡uk)+dim⁡(Ker⁡uℓ)\forall k, \ell \in \mathbb{N}, \operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{k+\ell}\right) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{k}\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{\ell}\right)
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Algèbre
Difficulté 2
On dit qu'une suite d'applications linéaires {0}→u0E1→u1E2→u2…→un−1En→un{0}\{0\} \stackrel{u_{0}}{\rightarrow} E_{1} \stackrel{u_{1}}{\rightarrow} E_{2} \stackrel{u_{2}}{\rightarrow} \ldots \stackrel{u_{n}-1}{\rightarrow} E_{n} \stackrel{u_{n}}{\rightarrow}\{0\} est exacte si on a Im⁡uk=Ker⁡uk+1\operatorname{Im} u_{k}=\operatorname{Ker} u_{k+1} pour tout k∈{0,…,n−1}k \in\{0, \ldots, n-1\}.
Montrer que si tous les EkE_{k} sont de dimension finie, on a la formule dite d'Euler-Poincaré : ∑k=1n(−1)kdim⁡Ek=0\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} \operatorname{dim} E_{k}=0
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Algèbre
Difficulté 4
Soient f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) et FF un sous-espace vectoriel de EE.
Montrer
dim⁡Ker⁡f∩F≥dim⁡F−rg⁡f\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f \cap F \geq \operatorname{dim} F-\operatorname{rg} f
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Algèbre
Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E).
Établir que
dim⁡(Ker⁡(g∘f))≤dim⁡(Ker⁡g)+dim⁡(Ker⁡f)\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g \circ f)) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} g)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)
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Algèbre
Difficulté 3
Soient v∈L(E,F)v \in \mathcal{L}(E, F) et u∈L(F,G)u \in \mathcal{L}(F, G).
Établir
rg⁡u+rg⁡v−dim⁡F≤rg⁡(u∘v)≤min⁡(rg⁡u,rg⁡v)\operatorname{rg} u+\operatorname{rg} v-\operatorname{dim} F \leq \operatorname{rg}(u \circ v) \leq \min (\operatorname{rg} u, \operatorname{rg} v)
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Algèbre
Difficulté 3
Soient E,F,G,HE, F, G, H des K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies et f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F), g∈L(F,G)g \in \mathcal{L}(F, G), h∈L(G,H)h \in \mathcal{L}(G, H) des applications linéaires.
Montrerrg⁡(g∘f)+rg⁡(h∘g)≤rg⁡g+rg⁡(h∘g∘f).\operatorname{rg}(g \circ f)+\operatorname{rg}(h \circ g) \leq \operatorname{rg} g+\operatorname{rg}(h \circ g \circ f) .
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Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E).
Soit HH un supplémentaire de Ker⁡f\operatorname{Ker} f dans EE.
On considère h:H→Eh: H \rightarrow E la restriction de g∘fg \circ f à HH.
(a) Montrer queKer⁡(g∘f)=Ker⁡h+Ker⁡f\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} h+\operatorname{Ker} f
(b) Observer querg⁡h≥rg⁡f−dim⁡Ker⁡g.\operatorname{rg} h \geq \operatorname{rg} f-\operatorname{dim} \operatorname{Ker} g .
(c) En déduire quedim⁡Ker⁡(g∘f)≤dim⁡Ker⁡g+dim⁡Ker⁡f\operatorname{dim} \operatorname{Ker}(g \circ f) \leq \operatorname{dim} \operatorname{Ker} g+\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f.
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Difficulté 3
(Images et noyaux itérés d'un endomorphisme) Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie n≥1n \geq 1 et ff un endomorphisme de EE.
Pour tout p∈Np \in \mathbb{N}, on pose Ip=Im⁡fpI_{p}=\operatorname{Im} f^{p} et Np=Ker⁡fpN_{p}=\operatorname{Ker} f^{p}.
(a) Montrer que (Ip)p≥0\left(I_{p}\right)_{p \geq 0} est décroissante tandis que (Np)p≥0\left(N_{p}\right)_{p \geq 0} est croissante.
(b) Montrer qu'il existe s∈Ns \in \mathbb{N} tel que Is+1=IsI_{s+1}=I_{s} et Ns+1=NsN_{s+1}=N_{s}.
(c) Soit rr le plus petit des entiers ss ci-dessus considérés. Montrer que∀s≥r,Is=Ir et Ns=Nr\forall s \geq r, I_{s}=I_{r} \text { et } N_{s}=N_{r}
(d) Montrer que IrI_{r} et NrN_{r} sont supplémentaires dans EE.
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Difficulté 3
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels quef+g=Id⁡E et rg⁡f+rg⁡g=dim⁡E.f+g=\operatorname{Id}_{E} \text { et } \operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g=\operatorname{dim} E .
Montrer que ff et gg sont des projecteurs complémentaires.
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Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et uu un endomorphisme de EE vérifiant u3=0~u^{3}=\tilde{0}.
Établir
rg⁡u+rg⁡u2≤n\operatorname{rg} u+\operatorname{rg} u^{2} \leq n
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Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie
et f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels que f+gf+g bijectif
et g∘f=0~g \circ f=\tilde{0}.
Montrer que
rg⁡f+rg⁡g=dim⁡E.\operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g=\operatorname{dim} E .
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Difficulté 4
Soient ff et gg deux endomorphismes de EE. Montrer que : (a) rg⁡(f∘g)≤min⁡(rg⁡f,rg⁡g)\operatorname{rg}(f \circ g) \leq \min (\operatorname{rg} f, \operatorname{rg} g). (b) rg⁡(f∘g)≥rg⁡f+rg⁡g−dim⁡E\operatorname{rg}(f \circ g) \geq \operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g-\operatorname{dim} E.
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Difficulté 4
Soient E,FE, F deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies et f,g∈L(E,F)f, g \in \mathcal{L}(E, F)
Montrer
rg⁡(f+g)=rg⁡(f)+rg⁡(g)⟺{Im⁡(f)∩Im⁡(g)={0}<br/>Ker⁡(f)+Ker⁡(g)=E\operatorname{rg}(f+g)=\operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g) \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\operatorname{Im}(f) \cap \operatorname{Im}(g)=\{0\} <br/> \operatorname{Ker}(f)+\operatorname{Ker}(g)=E\end{array}\right.
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Difficulté 4
Soient uu et vv deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie EE.\\ (a) Montrer:∣rg⁡(u)−rg⁡(v)∣≤rg⁡(u+v)≤rg⁡(u)+rg⁡(v)|\operatorname{rg}(u)-\operatorname{rg}(v)| \leq \operatorname{rg}(u+v) \leq \operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v)\\ (b) Trouver uu et vv dans L(R2)\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) tels que:rg⁡(u+v)<rg⁡(u)+rg⁡(v).\operatorname{rg}(u+v)<\operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v) .\\ (c) Trouver deux endomorphismes uu et vv de R2\mathbb{R}^{2} tels que:rg⁡(u+v)=rg⁡(u)+rg⁡(v).\operatorname{rg}(u+v)=\operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v) .
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Difficulté 2
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) où EE est un espace vectoriel sur K\mathbb{K} de dimension finie.
Montrer
∣rg⁡(f)−rg⁡(g)∣≤rg⁡(f+g)≤rg⁡(f)+rg⁡(g)|\operatorname{rg}(f)-\operatorname{rg}(g)| \leq \operatorname{rg}(f+g) \leq \operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g)
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Difficulté 2
Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimension finies et f∈L(E,F),f \in \mathcal{L}(E, F),
g∈L(F,E)g \in \mathcal{L}(F, E) telles que f∘g∘f=ff \circ g \circ f=f et g∘f∘g=g.g \circ f \circ g=g.
Montrer que ff, gg, f∘gf \circ g et g∘fg \circ f ont même rang.
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Difficulté 2
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E).
Montrer que
rg⁡(f+g)≤rg⁡(f)+rg⁡(g)\operatorname{rg}(f+g) \leq \operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g)
puis que
∣rg⁡(f)−rg⁡(g)∣≤rg⁡(f−g)|\operatorname{rg}(f)-\operatorname{rg}(g)| \leq \operatorname{rg}(f-g)
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Difficulté 5
Soient a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} des réels distincts et φ:R2n+1[X]→R2n+2\varphi: \mathbb{R}_{2 n+1}[X] \rightarrow \mathbb{R}^{2 n+2} définie par

φ(P)=(P(a0),P′(a0),…,P(an),P′(an))\varphi(P)=\left(P\left(a_{0}\right), P^{\prime}\left(a_{0}\right), \ldots, P\left(a_{n}\right), P^{\prime}\left(a_{n}\right)\right)

Montrer que φ\varphi est bijective.
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Difficulté 4
Soient a0,a1,…,ana_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} des éléments deux à deux distincts de K\mathbb{K}.
Montrer que l'application φ:Kn[X]→Kn+1\varphi: \mathbb{K}_{n}[X] \rightarrow \mathbb{K}^{n+1} définie par
φ(P)=(P(a0),P(a1),…,P(an))\varphi(P)=\left(P\left(a_{0}\right), P\left(a_{1}\right), \ldots, P\left(a_{n}\right)\right)
est un isomorphisme de K\mathbb{K}-espace vectoriel.
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Difficulté 3
Soit EE un plan vectoriel.
(a) Montrer que ff endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si, Ker⁡f=Im⁡f\operatorname{Ker} f=\operatorname{Im} f.
(b) En déduire qu'un tel endomorphisme ne peut s'écrire sous la forme f=u∘vf=u \circ v avec uu et vv nilpotents.
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Difficulté 2
Soit ff un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nn.
Montrer que (I,f,f2,…,fn2)\left(I, f, f^{2}, \ldots, f^{n^{2}}\right) est liée
et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule ff.
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Difficulté 4
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n≥1,fn \geq 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de EE et pp le plus petit entier tel que fp=0~f^{p}=\tilde{0}.
(a) Montrer qu'il existe x∈Ex \in E tel que la famille (x,f(x),f2(x),…,fp−1(x))\left(x, f(x), f^{2}(x), \ldots, f^{p-1}(x)\right) soit libre.
(b) En déduire fn=0~f^{n}=\tilde{0}.
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Difficulté 3
Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :
(a) f:R3→R3f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} définie par f(x,y,z)=(y−z,z−x,x−y)f(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y)
(b) f:R4→R3f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} définie par f(x,y,z,t)=(2x+y+z,x+y+t,x+z−t)f(x, y, z, t)=(2 x+y+z, x+y+t, x+z-t)
(c) f:C→Cf: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par f(z)=z+izˉ(Cf(z)=z+\mathrm{i} \bar{z}(\mathbb{C} est ici vu comme un R\mathbb{R}-espace vectoriel).
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Difficulté 3
Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) injective.
Montrer que pour toute famille (x1,…,xp)\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right) de vecteurs de EE, on a
rg⁡(f(x1),…,f(xp))=rg⁡(x1,…,xp).\operatorname{rg}\left(f\left(x_{1}\right), \ldots, f\left(x_{p}\right)\right)=\operatorname{rg}\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right) .
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Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie,
VV un sous-espace vectoriel de EE et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E).
MontrerV⊂f(V)⟹f(V)=VV \subset f(V) \Longrightarrow f(V)=V
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Difficulté 3
Soit e=(e1,…,en)e=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) une famille de vecteurs d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
On suppose que
∀f∈E∗,f(e1)=…=f(en)=0⟹f=0\forall f \in E^{*}, f\left(e_{1}\right)=\ldots=f\left(e_{n}\right)=0 \Longrightarrow f=0
Montrer que ee est une base de EE.
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Difficulté 2
Soient f,g∈E∗f, g \in E^{*} telles que Ker⁡f=Ker⁡g\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g.
Montrer qu'il existe α∈K\alpha \in \mathbb{K} tel que f=αgf=\alpha g.
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Difficulté 3
Soit HH un hyperplan d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel de EE de dimension quelconque.
On suppose que FF est un sous-espace vectoriel de EE contenant HH.
MontrerF=H ou F=EF=H \text { ou } F=E
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Difficulté 3
Soit HH un hyperplan d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel de EE de dimension quelconque.
Soit aa un vecteur de EE qui n'appartient pas à HH.
MontrerH⊕Vect⁡(a)=E. H \oplus \operatorname{Vect}(a)=E \text {. }
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Difficulté 3
Soit ff et gg deux endomorphismes d'un espace vectoriel EE sur R\mathbb{R} ou C\mathbb{C} vérifiant f∘g=Idf \circ g=\mathrm{Id}.
(a) Montrer que Ker⁡(g∘f)=Ker⁡f\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} f et Im⁡(g∘f)=Im⁡g\operatorname{Im}(g \circ f)=\operatorname{Im} g.
(b) MontrerE=Ker⁡f⊕Im⁡g.E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} g .
(c) Dans quel cas peut-on conclure g=f−1g=f^{-1} ?
(d) Caractériser g∘fg \circ f
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Difficulté 4
Soient pp et qq deux projecteurs d'un R\mathbb{R}-espace vectoriel EE vérifiant
Im⁡p⊂Ker⁡q\operatorname{Im} p \subset \operatorname{Ker} q
Montrer que p+q−p∘qp+q-p \circ q est un projecteur et préciser son image et son noyau.
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Difficulté 3
Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels de dimensions finies respectives nn et pp avec n>pn>p.
On considère u∈L(E,F)u \in \mathcal{L}(E, F) et v∈L(F,E)v \in \mathcal{L}(F, E) vérifiant u∘v=Id⁡F.u \circ v=\operatorname{Id}_{F} . (a) Montrer que v∘uv \circ u est un projecteur.
(b) Déterminer son rang, son image et son noyau.
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Difficulté 2
Soit EE un C\mathbb{C}-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E).
On suppose qu'il existe un projecteur pp de EE tel que u=p∘u−u∘pu=p \circ u-u \circ p
(a) Montrer que u(Ker⁡p)⊂Im⁡pu(\operatorname{Ker} p) \subset \operatorname{Im} p et Im⁡p⊂Ker⁡u\operatorname{Im} p \subset \operatorname{Ker} u.
(b) En déduire u2=0u^{2}=0
(c) Réciproque?
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Difficulté 3
Soient pp et qq deux projecteurs d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE vérifiant p∘q=0p \circ q=0.
(a) Montrer que r=p+q−q∘pr=p+q-q \circ p est un projecteur.
(b) Déterminer image et noyau de celui-ci.
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Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et pp un projecteur de EE.
On pose q=Id−pq=\mathrm{Id}-p et on considère L={f∈L(E)∣∃u∈L(E),f=u∘p}L=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid \exists u \in \mathcal{L}(E), f=u \circ p\} et M={g∈L(E)∣∃v∈L(E),g=v∘q}M=\{g \in \mathcal{L}(E) \mid \exists v \in \mathcal{L}(E), g=v \circ q\}.
Montrer que LL et MM sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de L(E)\mathcal{L}(E).
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Difficulté 4
Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que f2−4f+3Id=0~f^{2}-4 f+3 \mathrm{Id}=\tilde{0}.
MontrerKer⁡(f−Id)⊕Ker⁡(f−3Id)=E\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id}) \oplus \operatorname{Ker}(f-3 \mathrm{Id})=E
Quelle transformation vectorielle réalise ff ?
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Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel.
Soit ss un endomorphisme de EE involutif, i.e. tel que s2=Ids^{2}=\mathrm{Id}.
On pose F=Ker⁡(s−Id)F=\operatorname{Ker}(s-\mathrm{Id}) et G=Ker⁡(s+Id)G=\operatorname{Ker}(s+\mathrm{Id}).
(a) Montrer que FF et GG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de EE.
(b) Montrer que ss est la symétrie vectorielle par rapport à FF et parallèlement à GG.
Plus généralement, soient α∈K\{1}\alpha \in \mathbb{K} \backslash\{1\} et ff un endomorphisme de EE tel que f2−(α+1)f+αId=0f^{2}-(\alpha+1) f+\alpha \mathrm{Id}=0.
On pose F=Ker⁡(f−Id)F=\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id}) et G=Ker⁡(f−αId)G=\operatorname{Ker}(f-\alpha \mathrm{Id}).
(c) Montrer que FF et GG sont supplémentaires dans EE.
(d) Montrer que ff est l'affinité par rapport à FF, parallèlement à GG et de rapport α\alpha.
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Difficulté 4
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et p,qp, q deux projecteurs de EE qui commutent.
Montrer que p∘qp \circ q est un projecteur de EE.
En déterminer noyau et image.
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Difficulté 3
Soient p,q∈L(E)p, q \in \mathcal{L}(E).
Montrer l'équivalence entre les assertions :
(i) p∘q=pp \circ q=p et q∘p=qq \circ p=q;
(ii) pp et qq sont des projecteurs de même noyau.
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Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et p∈L(E)p \in \mathcal{L}(E).
(a) Montrer que pp est un projecteur si, et seulement si, Id −p-p l'est.
(b) Exprimer alors Im⁡(Id⁡−p)\operatorname{Im}(\operatorname{Id}-p) et Ker⁡(Id⁡−p)\operatorname{Ker}(\operatorname{Id}-p) en fonction de Im⁡p\operatorname{Im} p et Ker⁡p\operatorname{Ker} p
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Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et FF un sous-espace vectoriel de L(E)\mathcal{L}(E) stable par composition et contenant l'endomorphisme Id⁡E\operatorname{Id}_{E}.
Montrer que F∩GL(E)F \cap \mathrm{GL}(E) est un sous-groupe de (GL(E),∘)(\mathrm{GL}(E), \circ).
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Difficulté 3
À quelle condition une translation et un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE commutent-ils?
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Difficulté 2
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et ff un endomorphisme de EE nilpotent i.e. tel qu'il existe n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} pour lequel fn=0f^{n}=0.
Montrer que Id −f-f est inversible et exprimer son inverse en fonction de ff.
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Difficulté 3
Soient ff et gg deux endomorphes d'un espace vectoriel EE sur R\mathbb{R} ou C\mathbb{C} vérifiant f∘g=Idf \circ g=\mathrm{Id}.\\ (a) Montrer que Ker⁡(g∘f)=Ker⁡f\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} f et Im⁡(g∘f)=Im⁡g\operatorname{Im}(g \circ f)=\operatorname{Im} g.\\ (b) MontrerE=Ker⁡f⊕Im⁡g.E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} g . (c) Dans quel cas peut-on conclure g=f−1g=f^{-1} ?\\ (d) Calculer (g∘f)∘(g∘f)(g \circ f) \circ(g \circ f) et caractériser g∘fg \circ f.
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Difficulté 3
Soient f,g∈L(E)f, g \in \mathcal{L}(E) tels que g∘f∘g=g et f∘g∘f=f. g \circ f \circ g=g \text { et } f \circ g \circ f=f \text {. } \\ (a) Montrer que Im⁡f\operatorname{Im} f et Ker⁡g\operatorname{Ker} g sont supplémentaires dans EE. \\ (b) Justifier que f(Im⁡g)=Im⁡ff(\operatorname{Im} g)=\operatorname{Im} f.
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Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que
f2−3f+2Id=0f^{2}-3 f+2 \mathrm{Id}=0
(a) Montrer que ff est inversible et exprimer son inverse en fonction de ff.
(b) Établir que Ker⁡(f−Id)\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id}) et Ker⁡(f−2Id)\operatorname{Ker}(f-2 \mathrm{Id}) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de EE.
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Difficulté 4
Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n≥2n \geq 2. Pour a∈Ea \in E, on note FaF_{a}l'ensemble des endomorphismes ff de EE tels que, pour tout x∈Ex \in E, la famille (x,f(x),a)(x, f(x), a) est liée.
(a) Déterminer FaF_{a} lorsque a=0a=0 puis lorsque n=2n=2.
(b) Montrer que FaF_{a} est un espace vectoriel pour tout a∈Ea \in E.
(c) Soit HH un espace vectoriel de dimension finie. Caractériser les endomorphismes vv de HH tels que pour tout h∈Hh \in H, la famille (h,v(h))(h, v(h)) soit liée.
(d) Déterminer la dimension de FaF_{a}.
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Difficulté 3
Soient f,g∈L(E,F)f, g \in \mathcal{L}(E, F). On suppose
∀x∈E,∃λx∈K,g(x)=λxf(x)\forall x \in E, \exists \lambda_{x} \in \mathbb{K}, g(x)=\lambda_{x} f(x)
Montrer qu'il existe λ∈K\lambda \in \mathbb{K} tel que
g=λfg=\lambda f
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Difficulté 3
Soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que pour tout x∈E,xx \in E, x et f(x)f(x) soient colinéaires.
Montrer que ff est une homothétie vectorielle.
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Difficulté 4
Soit EE et FF des K\mathbb{K}-espaces vectoriels. On se donne f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F), une famille (Ei)1≤i≤n\left(E_{i}\right)_{1 \leq i \leq n} de sous-espaces vectoriels de EE et une famille (Fj)1≤j≤p\left(F_{j}\right)_{1 \leq j \leq p} de sous-espaces vectoriels de FF.
(a) Montrerf(∑i=1nEi)=∑i=1nf(Ei)f\left(\sum_{i=1}^{n} E_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} f\left(E_{i}\right)
(b) Montrer que si ff est injective et si la somme des EiE_{i} est directe alors la somme des f(Ei)f\left(E_{i}\right) est directe.
(c) Montrerf−1(∑j=1pFj)⊃∑j=1pf−1(Fj)f^{-1}\left(\sum_{j=1}^{p} F_{j}\right) \supset \sum_{j=1}^{p} f^{-1}\left(F_{j}\right)
Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour qu'il y ait égalité.
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Difficulté 4
Soient uu un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE et FF un sous-espace vectoriel de EE.
(a) Exprimer u−1(u(F))u^{-1}(u(F)) en fonction de FF et de Ker uu.
(b) Exprimer u(u−1(F))u\left(u^{-1}(F)\right) en fonction de FF et de Im⁡u\operatorname{Im} u.
(c) À quelle condition a-t-on u(u−1(F))=u−1(u(F))u\left(u^{-1}(F)\right)=u^{-1}(u(F)) ?
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Difficulté 2
Soient E,FE, F deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels, f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F) et A,BA, B deux sous-espaces vectoriels de EE.
Montrer
f(A)⊂f(B)⟺A+Ker⁡f⊂B+Ker⁡ff(A) \subset f(B) \Longleftrightarrow A+\operatorname{Ker} f \subset B+\operatorname{Ker} f
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Difficulté 3
Montrer que l'application partie entière Ent: K(X)→K[X]\mathbb{K}(X) \rightarrow \mathbb{K}[X] est linéaire
et déterminer son noyau.
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Difficulté 3
Soit φ:C∞(R,R)→C∞(R,R)\varphi: \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) définie par φ(f)=f′′−3f′+2f\varphi(f)=f^{\prime \prime}-3 f^{\prime}+2 f.\\ Montrer que φ\varphi est un endomorphisme et préciser son noyau.
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Difficulté 3
Soient aa un élément d'un ensemble XX non vide et EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel.
(a) Montrer que Ea:F(X,E)→EE_{a}: \mathcal{F}(X, E) \rightarrow E définie par Ea(f)=f(a)E_{a}(f)=f(a) est une application linéaire.
(b) Déterminer l'image et le noyau de l'application EaE_{a}.
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Algèbre
Difficulté 3
Soit J:C([0;1],R)→RJ: \mathcal{C}([0 ; 1], \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} définie par J(f)=∫01f(t)dtJ(f)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t.
Montrer que JJ est une forme linéaire.
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Maths
Algèbre
Difficulté 3
Soit f:R2→R2f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} définie par f(x,y)=(x+y,x−y)f(x, y)=(x+y, x-y).
Montrer que ff est un automorphisme de R2\mathbb{R}^{2}
et déterminer son automorphisme réciproque.
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