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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Décrire
où désigne un élément.
où désigne un élément.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété.
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple, et sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble .
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble .
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction .
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction .
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple, et sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble .
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble .
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction .
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction .
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Analyse
Difficulté 2
Soit la suite réelle déterminée par
Montrer
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Analyse
Difficulté 2
Le raisonnement suivant est erroné :
Montrons, par récurrence sur , la propriété :
points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour et , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang .
Considérons alors points deux à deux distincts .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
Or et contiennent les deux points distincts et , donc .
Par suite sont alignés sur la droite .
Récurrence établie.
Où est l'erreur?
Montrons, par récurrence sur , la propriété :
points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour et , la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang .
Considérons alors points deux à deux distincts .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
(HR) Les points sont alignés sur une droite .
Or et contiennent les deux points distincts et , donc .
Par suite sont alignés sur la droite .
Récurrence établie.
Où est l'erreur?
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Analyse
Difficulté 3
Montrer que
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Analyse
Difficulté 3
Montrer que
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Analyse
Difficulté 3
Soit une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :
et
Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a)
(b)
(d)
(c)
On considère les assertions suivantes :
et
Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a)
(b)
(d)
(c)
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Analyse
Difficulté 3
Soient un intervalle de non vide et une fonction à valeurs réelles définie sur .
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) .
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) .
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Difficulté 2
Soient un intervalle de et une fonction définie sur à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction s'annule
(b) la fonction est la fonction nulle
(c) n'est pas une fonction constante
(d) ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction présente un minimum
(f) prend des valeurs arbitrairement grandes
(g) ne peut s'annuler qu'une seule fois.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction s'annule
(b) la fonction est la fonction nulle
(c) n'est pas une fonction constante
(d) ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction présente un minimum
(f) prend des valeurs arbitrairement grandes
(g) ne peut s'annuler qu'une seule fois.
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Analyse
Difficulté 2
Soient un intervalle de et une fonction définie sur à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) .
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) .
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Analyse
Difficulté 3
On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 1
On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde.
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Étant donné et trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :
(a) ou et ou et ou
(b) et .
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Décrire les parties de dans lesquelles évoluent pour que les assertions suivantes soient vraies:
(a) et ou
(b) et et
(c) et ) ou
(d) .
(a) et ou
(b) et et
(c) et ) ou
(d) .
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