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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit p∈]0;1]p \in] 0 ; 1].
(a) Établir que pour tout t≥0t \geq 0, on a
(1+t)p≤1+tp(1+t)^{p} \leq 1+t^{p}
(b) En déduire que pour tout x,y≥0x, y \geq 0,
(x+y)p≤xp+yp(x+y)^{p} \leq x^{p}+y^{p}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Établir les inégalités suivantes :
(a) ∀x∈]−1;+∞[,x1+x≤ln⁡(1+x)≤x\forall x \in]-1 ;+\infty\left[, \frac{x}{1+x} \leq \ln (1+x) \leq x\right.
(b) ∀x∈R+,ex≥1+x+x22\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \mathrm{e}^{x} \geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Déterminer toutes les applications f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dérivables telles que
∀(x,y)∈R2,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y)=f(x)+f(y)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[0;π/2]→Rf:[0 ; \pi / 2] \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)=sin⁡x+x.f(x)=\sqrt{\sin x}+x . a) Justifier que ff réalise une bijection vers un intervalle à préciser. b) Puis, justifier que f−1f^{-1} est continue c) et dérivable sur cet intervalle.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Calculer les dérivées des fonctions suivantes f1(x)=arctan⁡(ex),f_{1}(x)=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right), f2(x)=arctan⁡(sh⁡x)f_{2}(x)=\arctan (\operatorname{sh} x)  et f3(x)=arctan⁡(th⁡x2).\text { et } f_{3}(x)=\arctan \left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) . Qu'en déduire?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :
(a) x↦xxx \mapsto x^{x}
(b) x↦(ch⁡x)xx \mapsto(\operatorname{ch} x)^{x}
(c) x↦ln⁡∣x∣x \mapsto \ln |x|
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:
(a) x↦arctan⁡xx2+1x \mapsto \frac{\arctan x}{x^{2}+1}
(b) x↦1(x+1)2x \mapsto \frac{1}{(x+1)^{2}}
(c) x↦sin⁡x(cos⁡x+2)4x \mapsto \frac{\sin x}{(\cos x+2)^{4}}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Sur quelles parties de R\mathbb{R}, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?
(a) f:x↦{xsin⁡(1/x) si x≠00 sinon f: x \mapsto \begin{cases}x \sin (1 / x) & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
(b) g:x↦{x2sin⁡(1/x)0g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin (1 / x) \\ 0\end{array}\right.si x≠0x \neq 0
sinon
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:
(a) x↦x2−x3x \mapsto \sqrt{x^{2}-x^{3}}
(b) x↦(x2−1)arccos⁡(x2)x \mapsto\left(x^{2}-1\right) \arccos \left(x^{2}\right)
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