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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Étudier la continuité sur R\mathbb{R} de l'application
f:x↦⌊x⌋+x−⌊x⌋f: x \mapsto\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
La fonction t↦sin⁡1tt \mapsto \sin \frac{1}{t} si t>0t>0 et 0 si t=0t=0 est-elle continue par morceaux sur [0;1][0 ; 1] ?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction en escalier.
Montrer qu'il existe une subdivision σ\sigma du segment [a;b][a ; b] adaptée à ff telle que toute autre subdivision adaptée à ff soit plus fine que σ\sigma.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que∀x,y∈R,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) a)a) On suppose f(0)=0f(0)=0. Vérifier∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) b)b) On revient au cas général, déterminer ff.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
On cherche les fonctions f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continues telles que ∀x,y∈R,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) (a) On suppose ff solution et f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Montrer que ff est périodique et que ∀x∈R,2f(x)=f(2x)\forall x \in \mathbb{R}, 2 f(x)=f(2 x) En déduire que ff est nulle. (b) Déterminer toutes les fonctions ff solutions."
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle que pour tout x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) On suppose en outre que la fonction ff est continue en un point x0∈Rx_{0} \in \mathbb{R}. $$Déterminer la fonction $f$.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\ (a) Calculer f(0)f(0) et montrer que pour tout x∈R,f(−x)=−f(x)x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x). \\ (b) Justifier que pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z} et tout x∈R,f(nx)=nf(x)x \in \mathbb{R}, f(n x)=n f(x). \\ (c) Établir que pour tout r∈Q,f(r)=r \in \mathbb{Q}, f(r)= ar avec a=f(1)a=f(1). \\ (d) Conclure que pour tout x∈R,f(x)=axx \in \mathbb{R}, f(x)=a x.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, f(x+12)=f(x)f\left(\frac{x+1}{2}\right)=f(x)
Montrer que ff est constante.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue en 0 et en 1 telle que

∀x∈R,f(x)=f(x2).<br/><br/>Montrerque\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=f\left(x^{2}\right) . <br/> <br/> Montrer que f$ est constante.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Soit f:[0;+∞[→[0;+∞[f:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[ continue vérifiant
f∘f=Id. f \circ f=\mathrm{Id} \text {. }
Déterminer ff.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Soit α\alpha un réel compris au sens large entre 0 et 1/e1 / \mathrm{e}.
(a) Démontrer l'existence d'une fonction f∈C1(R,R)f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) vérifiant
∀x∈R,f′(x)=αf(x+1)\forall x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\alpha f(x+1)
(b) Si α=1/\alpha=1 / e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soient a<b∈Ra<b \in \mathbb{R} et f:]a;b[→Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction strictement croissante.
Montrer que ff est continue si, et seulement si, f(]a;b[)=]lim⁡af;lim⁡bf[f(] a ; b[)=] \lim _{a} f ; \lim _{b} f[.
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Maths Approfondies
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Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par $$f(x)=\frac{x}{1+|x|} \text{. }
(a) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $]-1 ; 1[$.
(b) Déterminer, pour $y \in]-1 ; 1\left[\right.$ une expression de $f^{-1}(y)$ analogue à celle de $f(x)$
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que chaque y∈Ry \in \mathbb{R} admet au plus deux antécédents par ff.
Montrer qu'il existe un y∈Ry \in \mathbb{R} possédant exactement un antécédent.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que
lim⁡+∞f=lim⁡−∞f=+∞\lim _{+\infty} f=\lim _{-\infty} f=+\infty
Montrer que ff admet un minimum absolu.
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Analyse
Difficulté 2
Soient f,g:[a;b]→Rf, g:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continues telles que ∀x∈[a;b],f(x)<g(x)\forall x \in[a ; b], f(x)<g(x) Montrer qu'il existe α>0\alpha>0 tel que ∀x∈[a;b],f(x)≤g(x)−α\forall x \in[a ; b], f(x) \leq g(x)-\alpha
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Difficulté 2
Soient f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} bornée et g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
Montrer que g∘fg \circ f et f∘gf \circ g sont bornées.
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Difficulté 2
Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R\mathbb{R} est bornée.
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Analyse
Difficulté 3
Soient f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}. On note fnf^{n} l'itéré de composition d'ordre nn de la fonction ff :
fn=f∘f∘⋯∘f(n facteurs )f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f \quad(n \text { facteurs })
On suppose que fnf^{n} admet un point fixe, montrer que ff admet aussi un point fixe.
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Difficulté 4
Montrer la surjectivité de l'application
$$z \in \mathbb{C} \mapsto z \exp (z) \in \mathbb{C}$
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Difficulté 2
Soient f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continue et p,q∈R+p, q \in \mathbb{R}_{+}.
Montrer qu'il existe c∈[a;b]c \in[a ; b] tel que
p⋅f(a)+q⋅f(b)=(p+q)⋅f(c).p \cdot f(a)+q \cdot f(b)=(p+q) \cdot f(c) .
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Difficulté 3
Soit f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que ∣f∣⟶+∞+∞|f| \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty.
Montrer que f⟶+∞+∞f \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty ou f⟶+∞−∞f \underset{+\infty}{\longrightarrow}-\infty.
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Difficulté 3
Soient f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:I→Rg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que ∀x∈I,∣f(x)∣=∣g(x)∣≠0\forall x \in I, |f(x)|=|g(x)| \neq 0. Montrer que f=gf=g ou f=−gf=-g." Se transforme en: "Soient f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:I→Rg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que\\ ∀x∈I,∣f(x)∣=∣g(x)∣≠0\forall x \in I, |f(x)|=|g(x)| \neq 0.\\ Montrer que f=gf=g ou f=−gf=-g.
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Difficulté 2
Montrer que les seules applications continues de R\mathbb{R} vers Z\mathbb{Z} sont les fonctions constantes.

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Difficulté 3
Soit f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue, positive et telle que
lim⁡x→+∞f(x)x=ℓ<1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\ell<1
Montrer qu'il existe α∈[0;+∞[\alpha \in[0 ;+\infty[ tel que f(α)=αf(\alpha)=\alpha.
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Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue et décroissante.
Montrer que ff admet un unique point fixe.
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Analyse
Difficulté 3
Soit f:[0;1]→[0;1]f:[0 ; 1] \rightarrow[0 ; 1] continue.
Montrer que ff admet un point fixe.
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Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que lim⁡−∞f=−1\lim _{-\infty} f=-1
et lim⁡+∞f=1\lim _{+\infty} f=1.
Montrer que ff s'annule.
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Difficulté 4
Étudier la continuité de la fonction f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=sup⁡n∈Nxnn!f(x)=\sup _{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{n}}{n !}
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Maths Approfondies
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Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)={1 si x∈Q0 sinon f(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} \\ Montrer que ff est totalement discontinue.
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Difficulté 4
Soient f,g:[0;1]→Rf, g:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} continue.
On poseφ(t)=sup⁡x∈[0;1](f(x)+tg⁡(x))\varphi(t)=\sup _{x \in[0 ; 1]}(f(x)+\operatorname{tg}(x))
Montrer que φ\varphi est bien définie sur R\mathbb{R} et qu'elle y est lipschitzienne.
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Difficulté 4
Soient f,g:[0;1]→Rf, g:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} continue.
On pose φ(t)=sup⁡x∈[0;1](f(x)+tg⁡(x))\varphi(t)=\sup _{x \in[0 ; 1]}(f(x)+\operatorname{tg}(x))
Montrer que φ\varphi est bien définie sur R\mathbb{R} et qu'elle y est lipschitzienne.
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Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction kk lipschitzienne (avec k∈[0;1[k \in[0 ; 1[ ) telle que f(0)=0f(0)=0.
Soient a∈Ra \in \mathbb{R} et (un)\left(u_{n}\right) la suite réelle déterminée par
u0=a et ∀n∈N,un+1=f(un)u_{0}=a \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)
Montrer que un→0u_{n} \rightarrow 0.
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Difficulté 3
On rappelle que pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, on a ∣sin⁡x∣≤∣x∣|\sin x| \leq|x|.
Montrer que la fonction x↦sin⁡xx \mapsto \sin x est 1 lipschitzienne.
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Difficulté 2
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle que∀x,y∈R,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y))
(a) On suppose f(0)=0f(0)=0. Vérifier∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y)
(b) On revient au cas général, déterminer ff.
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Difficulté 3
On cherche les fonctions f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continues telles que ∀x,y∈R,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y))
(a) On suppose ff solution et f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Montrer que ff est périodique et que ∀x∈R,2f(x)=f(2x)\forall x \in \mathbb{R}, 2 f(x)=f(2 x)
En déduire que ff est nulle.
(b) Déterminer toutes les fonctions ff solutions."
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Difficulté 2
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que \\ ∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\ (a) Calculer f(0)f(0) et montrer que pour tout x∈R,f(−x)=−f(x)x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x). \\ (b) Justifier que pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z} et tout x∈R,f(nx)=nf(x)x \in \mathbb{R}, f(n x)=n f(x). \\ (c) Établir que pour tout r∈Q,f(r)=r \in \mathbb{Q}, f(r)= ar avec a=f(1)a=f(1). \\ (d) Conclure que pour tout x∈R,f(x)=axx \in \mathbb{R}, f(x)=a x.
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Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R},
f(x+12)=f(x)f\left(\frac{x+1}{2}\right)=f(x)
Montrer que ff est constante.
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Difficulté 4
Soit f:[0;+∞[→[0;+∞[f:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[ continue vérifiantf∘f=Idf \circ f=\mathrm{Id}
Déterminer ff.
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Difficulté 3
Soit α\alpha un réel compris au sens large entre 0 et 1/1 / e.
(a) Démontrer l'existence d'une fonction f∈C1(R,R)f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) vérifiant
∀x∈R,f′(x)=αf(x+1)\forall x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\alpha f(x+1)
(b) Si⁡α=1/\operatorname{Si} \alpha=1 / e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.
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Difficulté 3
Soient a<b∈Ra<b \in \mathbb{R} et f:]a;b[→Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction strictement croissante.
Montrer que ff est continue si, et seulement si, f(]a;b[)=]lim⁡af;lim⁡bf[f(] a ; b[)=] \lim _{a} f ; \lim _{b} f[.
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Difficulté 2
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)=x1+∣x∣. f(x)=\frac{x}{1+|x|} \text {. }
(a) Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} vers ]−1;1[]-1 ; 1[.
(b) Déterminer, pour y∈]−1;1[y \in]-1 ; 1\left[\right. une expression de f−1(y)f^{-1}(y) analogue à celle de f(x)f(x).
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Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que chaque y∈Ry \in \mathbb{R} admet au plus deux antécédents par ff.
Montrer qu'il existe un y∈Ry \in \mathbb{R} possédant exactement un antécédent.
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Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que\\ lim⁡+∞f=lim⁡−∞f=+∞\lim _{+\infty} f=\lim _{-\infty} f=+\infty\\ Montrer que ff admet un minimum absolu.
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Difficulté 3
Soient f,g:[a;b]→Rf, g:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continues telles que\\ ∀x∈[a;b],f(x)<g(x)\forall x \in[a ; b], f(x)<g(x)\\ Montrer qu'il existe α>0\alpha>0 tel que\\ ∀x∈[a;b],f(x)≤g(x)−α\forall x \in[a ; b], f(x) \leq g(x)-\alpha
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Difficulté 3
Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R\mathbb{R} est bornée.
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Difficulté 4
Soient f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
On note fnf^{n} l'itéré de composition d'ordre nn de la fonction ff : fn=f∘f∘⋯∘f(n facteurs )f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f \quad(n \text { facteurs })
On suppose que fnf^{n} admet un point fixe,
montrer que ff admet aussi un point fixe.
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Difficulté 2
Montrer la surjectivité de l'application
z∈C↦zexp⁡(z)∈Cz \in \mathbb{C} \mapsto z \exp (z) \in \mathbb{C}
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Difficulté 2
Notre objectif dans cet exercice est d'établir la proposition :\\ Toute fonction f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} continue et injective est strictement monotone.\\ Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose :\\ ∃(x1,y1)∈I2,x1<y1\exists\left(x_{1}, y_{1}\right) \in I^{2}, x_{1}<y_{1} et f(x1)≥f(y1)f\left(x_{1}\right) \geq f\left(y_{1}\right) et ∃(x2,y2)∈I2,x2<y2\exists\left(x_{2}, y_{2}\right) \in I^{2}, x_{2}<y_{2} et f(x2)≤f(y2)f\left(x_{2}\right) \leq f\left(y_{2}\right).\\ Montrer que la fonction φ:[0;1]→R\varphi:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} définie par\\ φ(t)=f((1−t)x1+tx2)−f((1−t)y1+ty2)\varphi(t)=f\left((1-t) x_{1}+t x_{2}\right)-f\left((1-t) y_{1}+t y_{2}\right)\\ s'annule. Conclure.
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Difficulté 3
Soient f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continue et p,q∈R+p, q \in \mathbb{R}_{+}.
Montrer qu'il existe c∈[a;b]c \in[a ; b] tel que
p.f(a)+q.f(b)=(p+q).f(c).p . f(a)+q . f(b)=(p+q) . f(c) .
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Difficulté 3
Soit f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que ∣f∣⟶+∞+∞|f| \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty.
Montrer que f⟶+∞+∞f \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty ou f⟶+∞−∞f \underset{+\infty}{\longrightarrow}-\infty.
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Difficulté 3
Soient f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:I→Rg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que
∀x∈I,∣f(x)∣=∣g(x)∣≠0\forall x \in I,|f(x)|=|g(x)| \neq 0
Montrer que f=gf=g ou f=−gf=-g.
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Difficulté 3
Montrer que les seules applications continues de R\mathbb{R} vers Z\mathbb{Z} sont les fonctions constantes.
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Difficulté 3
Soit f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue, positive et telle que
lim⁡x→+∞f(x)x=ℓ<1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\ell<1
Montrer qu'il existe α∈[0;+∞[\alpha \in[0 ;+\infty[ tel que f(α)=αf(\alpha)=\alpha.
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Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue et décroissante.
Montrer que ff admet un unique point fixe.
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Difficulté 2
Soit f:[0;1]→[0;1]f:[0 ; 1] \rightarrow[0 ; 1] continue.
Montrer que ff admet un point fixe.
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Difficulté 4
Déterminer une fonction f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle
ff ne présente ni minimum ni maximum sur aucun intervalle
[a;b][a ; b] avec
a<b∈Ra<b \in \mathbb{R}.
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