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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R+→Rf: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} de classe C2\mathcal{C}^{2} telle que f′(0)=0f^{\prime}(0)=0.
Montrer qu'il existe g:R+→Rg: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} de classe C1\mathcal{C}^{1} telle que
∀x∈R+,f(x)=g(x2)\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f(x)=g\left(x^{2}\right)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}, montrer que la fonctionfn:x↦{xn+1 si x≥00 sinon f_{n}: x \mapsto \begin{cases}x^{n+1} & \text { si } x \geq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}est de classe Cn\mathcal{C}^{n} sur R\mathbb{R}.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Montrer que la fonction f:R+→Rf: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} définie par
f(x)={x2ln⁡x si x≠00 si x=0f(x)= \begin{cases}x^{2} \ln x & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { si } x=0\end{cases}
est de classe C1\mathcal{C}^{1} sur R+\mathbb{R}_{+}.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Soit f:R→Cf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} de classe C1\mathcal{C}^{1} et périodique.
Montrer que ff est lipschitzienne.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} de classe C1\mathcal{C}^{1}.
Montrer que ff est lipschitzienne.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Calculer de deux façons la dérivée nn-ième de x↦x2nx \mapsto x^{2 n}.
En déduire une expression de
∑k=0n(nk)2\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)^{2}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Soit f:x↦arctan⁡xf: x \mapsto \arctan x.
(a) Montrer que pour tout n≥1n \geq 1
f(n)(x)=(n−1)!cos⁡n(f(x))sin⁡(nf(x)+nπ/2).f^{(n)}(x)=(n-1) ! \cos ^{n}(f(x)) \sin (n f(x)+n \pi / 2) .
(b) En déduire les racines de f(n)f^{(n)} pour n≥1n \geq 1.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Montrer que la dérivée d'ordre nn de xn−1e1/xx^{n-1} \mathrm{e}^{1 / x} est \\ (−1)nx−(n+1)e1/x(-1)^{n} x^{-(n+1)} \mathrm{e}^{1 / x} \\
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 5
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=ex3sin⁡xf(x)=\mathrm{e}^{x \sqrt{3}} \sin x.
Montrer que
f(n)(x)=2nex3sin⁡(x+nπ6)f^{(n)}(x)=2^{n} \mathrm{e}^{x \sqrt{3}} \sin \left(x+\frac{n \pi}{6}\right)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Calculons la dérivée nn-ième de la fonction réelle t↦cos⁡(t)ett \mapsto \cos (t) \mathrm{e}^{t}.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Calculer la dérivée nn-ième de x↦cos⁡3xx \mapsto \cos ^{3} x
En premier lieu, est-ce que tu pourrais faire quelques précisions sur les notations utilisées.
a) Qu'est-ce que tu entends par dérivée nn-ième ?
b) Qu'est-ce que signifie le terme x↦cos⁡3xx \mapsto \cos ^{3} x ?
c) Aurais-tu des informations supplémentaires à donner sur cette dérivée ?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Calculer la dérivée nn-ième dex↦11−x2x \mapsto \frac{1}{1-x^{2}} a)
b)
c)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Calculer la dérivée nn-ième de
x↦11−xx \mapsto \frac{1}{1-x},
x↦11+xx \mapsto \frac{1}{1+x}
et
x↦11−x2x \mapsto \frac{1}{1-x^{2}}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Calculer la dérivée nn-ième de
(a) x↦x2(1+x)nx \mapsto x^{2}(1+x)^{n}
(b) x↦(x2+1)exx \mapsto\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{x}
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