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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Soit f∈C2(R+,R)f \in \mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R}\right) telle que lim⁡x→+∞f(x)=a∈R\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a \in \mathbb{R}
(a) Si f′′f^{\prime \prime} est bornée, que dire de f′(x)f^{\prime}(x) quand x→+∞x \rightarrow+\infty ?
(b) Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse du a)?
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Montrer que∀x>0,11+x<ln⁡(1+x)−ln⁡(x)<1x\forall x>0, \frac{1}{1+x}<\ln (1+x)-\ln (x)<\frac{1}{x}\\ En déduire, pour k∈N\{0,1}k \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\},lim⁡n→∞∑p=n+1kn1p\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{p=n+1}^{k n} \frac{1}{p}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Montrer à l'aide du théorème des accroissements finis que
n+1n+1−nn∼−ln⁡nn2\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n} \sim-\frac{\ln n}{n^{2}}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2

À l'aide du théorème des accroissements finis déterminer
lim⁡x→+∞((x+1)e1x+1−xe1x)\lim _{x \rightarrow+\infty}\left((x+1) \mathrm{e}^{\frac{1}{x+1}}-x \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit ff une fonction de classe C2\mathcal{C}^{2} sur [a;a+2h][a ; a+2 h] (avec a∈Ra \in \mathbb{R} et h>0h>0 ).
Montrer
∃c∈]a;a+2h[,f(a+2h)−2f(a+h)+f(a)=h2f′′(c)\exists c \in] a ; a+2 h\left[, f(a+2 h)-2 f(a+h)+f(a)=h^{2} f^{\prime \prime}(c)\right.
(indice : introduire φ(x)=f(x+h)−f(x)\varphi(x)=f(x+h)-f(x).)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Soit f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} dérivable.
Montrer que ff est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} de classe C2\mathcal{C}^{2} vérifiant
f(a)=f′(a) et f(b)=f′(b)f(a)=f^{\prime}(a) \text { et } f(b)=f^{\prime}(b)
Montrer qu'il existe c∈]a;b[c \in] a ; b[ tel que
f(c)=f′′(c). f(c)=f^{\prime \prime}(c) \text {. }
Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de f(x),f′(x)f(x), f^{\prime}(x) et ex\mathrm{e}^{x}
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} dérivable vérifiant
f(a)=f(b)=0 et f′(a)>0,f′(b)>0.f(a)=f(b)=0 \text { et } f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b)>0 .
Montrer qu'il existe \left.c_{1}, c_{2}, c_{3} \in\] a ; b\left[\right. tels que c1<c2<c3c_{1}<c_{2}<c_{3} et
f′(c1)=f(c2)=f′(c3)=0f^{\prime}\left(c_{1}\right)=f\left(c_{2}\right)=f^{\prime}\left(c_{3}\right)=0.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit a>0a>0 et f:[0;a]→Rf:[0 ; a] \rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable telle quef(0)=f(a)=0 et f′(0)=0. f(0)=f(a)=0 \text { et } f^{\prime}(0)=0 \text {. }\\ (a) Montrer que la dérivée de x↦f(x)/xx \mapsto f(x) / x s'annule sur ]0] 0; aa [.\\ (b) En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à ff passe par l'origine.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit a>0a>0 et ff une fonction réelle continue sur [0;a][0 ; a] et dérivable sur ]0;a]] 0 ; a].
On supposef(0)=0 et f(a)f′(a)<0f(0)=0 \text { et } f(a) f^{\prime}(a)<0
Montrer qu'il existe c∈]0;a[c \in] 0 ; a\left[\right. tel que f′(c)=0f^{\prime}(c)=0.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:[0;+∞[→Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} une fonction dérivable telle que

lim⁡+∞f=f(0)\lim _{+\infty} f=f(0)

Montrer qu'il existe c>0c>0 tel que f′(c)=0f^{\prime}(c)=0.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dérivable telle que
lim⁡−∞f=lim⁡+∞f=+∞\lim _{-\infty} f=\lim _{+\infty} f=+\infty
Montrer qu'il existe c∈Rc \in \mathbb{R} tel que f′(c)=0f^{\prime}(c)=0.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Soient n∈N,a<b∈Rn \in \mathbb{N}, a<b \in \mathbb{R} et f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction nn fois dérivable.
Montrer que si
f(a)=f′(a)=…=f(n−1)(a)=0 et f(b)=0f(a)=f^{\prime}(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0 \text { et } f(b)=0
alors il existe c∈]a;b[c \in] a ; b\left[\right. tel que f(n)(c)=0f^{(n)}(c)=0.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soient f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} une fonction deux fois dérivable sur II et a,b,ca, b, c trois points distincts de II.
Montrer
∃d∈I,f(a)(a−b)(a−c)+f(b)(b−c)(b−a)+f(c)(c−a)(c−b)=12f′′(d)\exists d \in I, \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(d)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 4
On pose f:x↦((x2−1)n)(n)f: x \mapsto\left(\left(x^{2}-1\right)^{n}\right)^{(n)}.
(a) Montrer que ff est une fonction polynomiale de degré nn.
(b) Calculer f(1)f(1) et f(−1)f(-1).
(c) Montrer que ff possède exactement nn racines distinctes toutes dans ]−1;1[]-1 ; 1[.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit n∈Nn \in \mathbb{N} et f:I→Rf: I \rightarrow \mathbb{R} une application de classe Cn\mathcal{C}^{n} s'annulant en n+1n+1 points distincts de II.
(a) Montrer que la dérivée nn-ième de ff s'annule au moins une fois sur II.
(b) Soit α\alpha un réel. Montrer que la dérivée (n−1)(n-1)-ième de f′+αff^{\prime}+\alpha f s'annule au moins une fois sur II.
(indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.)
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 2
Soit f:[a;b]→Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} dérivable et vérifiant f′(a)>0f^{\prime}(a)>0
et f′(b)<0f^{\prime}(b)<0.
Montrer que la dérivée de ff s'annule.
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}.
Montrer qu'il existe x∈]0;1[x \in] 0 ; 1[ tel que
4ax3+3bx2+2cx=a+b+c.4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x=a+b+c .
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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dérivable.
On suppose que f′f^{\prime} ne s'annule pas.
Montrer que ff ne peut être périodique.
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