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Maths Approfondies
Analyse
Difficulté 3
Déterminer <br/><br/> lim⁡n→+∞(32n−23n)n\lim _{n \rightarrow+\infty}(3 \sqrt[n]{2}-2 \sqrt[n]{3})^{n}
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Analyse
Difficulté 2
Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
Déterminer
lim⁡n→+∞(an+bn2)n\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}
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Analyse
Difficulté 4
Déterminer les limites suivantes :
(a) lim⁡n→∞nsin⁡1n\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{1}{n}
(b) lim⁡n→∞(nsin⁡1n)n2\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
(c) lim⁡n→∞n2((n+1)1/n−n1/n)\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left((n+1)^{1 / n}-n^{1 / n}\right)
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Analyse
Difficulté 4
Déterminer la limite des suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes
(a) un=u_{n}=
(b) un=(1+sin⁡1n)nu_{n}=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^{n}
(c) un=nn+1(n+1)nu_{n}=\frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}
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Analyse
Difficulté 3
Montrer que, au voisinage de +∞+\infty,
un=∫n2n3dt1+t2∼1n2u_{n}=\int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} \sim \frac{1}{n^{2}}
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Difficulté 3
On étudie ici la suite (Sn)\left(S_{n}\right) de terme généralSn=∑k=1n1kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.
(a) Établir que pour tout t>−1,ln⁡(1+t)≤tt>-1, \ln (1+t) \leq t et en déduire ln⁡(1+t)≥tt+1\ln (1+t) \geq \frac{t}{t+1}.
(b) Observer que ln⁡(n+1)≤Sn≤ln⁡n+1\ln (n+1) \leq S_{n} \leq \ln n+1 et en déduire un équivalent simple de SnS_{n}.
(c) Montrer que la suite un=Sn−ln⁡nu_{n}=S_{n}-\ln n est convergente. Sa limite est appelée constante d'Euler et est usuellement notée γ\gamma.
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Analyse
Difficulté 4
On pose Sn=∑k=1n1kS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \\ (a) Justifier que1n+1≤2(n+1−n)≤1n\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \\ (b) Déterminer la limite de (Sn)\left(S_{n}\right). \\ (c) On pose un=Sn−2nu_{n}=S_{n}-2 \sqrt{n}. Montrer que (un)\left(u_{n}\right) converge. \\ (d) Donner un équivalent simple de (Sn)\left(S_{n}\right). \\ (a) 2n−n+1−2 \sqrt{n}-\sqrt{n+1}-n−1\sqrt{n-1} \\ (b) ln⁡(n+1)−ln⁡nn+1−n\frac{\ln (n+1)-\ln n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \\ (c) n+1n+1−nn\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n}
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Difficulté 4
Pour n∈Nn \in \mathbb{N}, on pose un=0!+1!+2!+⋯+n!=∑k=0nk!u_{n}=0 !+1 !+2 !+\cdots+n !=\sum_{k=0}^{n} k !\\ Montrer que un∼nu_{n} \sim n !.
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Difficulté 2
Soient (un),(vn),(wn),(tn)\left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right),\left(w_{n}\right),\left(t_{n}\right) des suites de réels strictement positifs telles que
un∼vn et wn∼tnu_{n} \sim v_{n} \text { et } w_{n} \sim t_{n}
Montrer que
un+wn∼vn+tnu_{n}+w_{n} \sim v_{n}+t_{n}
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Difficulté 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite décroissante de réels telle queun+un+1∼1nu_{n}+u_{n+1} \sim \frac{1}{n}\\ (a) Montrer que (un)\left(u_{n}\right) converge vers 0+0^{+}.\\ (b) Donner un équivalent simple de (un)\left(u_{n}\right).
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Difficulté 3
Trouver un équivalent simple aux suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes :
(a) un=1n−1−1n+1u_{n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}
(b) un=u_{n}= n+1−n−1\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}
(c) un=u_{n}= ln⁡(n+1)−ln⁡(n)\sqrt{\ln (n+1)-\ln (n)}
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Difficulté 4
Trouver un équivalent simple aux suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes et donner leur limite :
(a) un=n3−n2+1ln⁡n−2n2u_{n}=\frac{n^{3}-\sqrt{n^{2}+1}}{\ln n-2 n^{2}}
(b) un=2n3−ln⁡n+1n2+1u_{n}=\frac{2 n^{3}-\ln n+1}{n^{2}+1}
(c) un=n!+en2n+3nu_{n}=\frac{n !+\mathrm{e}^{n}}{2^{n}+3^{n}}
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Difficulté 4
Trouver un équivalent simple aux suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes et donner leur limite :\\ (a) un=u_{n}=(n+3ln⁡n)e−(n+1)(n+3 \ln n) \mathrm{e}^{-(n+1)}\\ (b) un=ln⁡(n2+1)n+1u_{n}=\frac{\ln \left(n^{2}+1\right)}{n+1}\\ (c) un=n2+n+1n2−n+13u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}}{\sqrt[3]{n^{2}-n+1}}
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Difficulté 4
Trouver un équivalent simple aux suites (un)\left(u_{n}\right) suivantes et donner leur limite :
(a) un=u_{n}=(n+3ln⁡n)e−(n+1)(n+3 \ln n) \mathrm{e}^{-(n+1)}
(b) un=ln⁡(n2+1)n+1u_{n}=\frac{\ln \left(n^{2}+1\right)}{n+1}
(c) un=n2+n+1n2−n+13u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}}{\sqrt[3]{n^{2}-n+1}}
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