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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
SoitA=(1⋯⋯101⋮⋮⋱⋱⋮0⋯01)∈Mn(R)A=\left(\begin{array}{cccc}1 & \cdots & \cdots & 1 \\0 & 1 & & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})
(a)(a) Soit k∈N∗k \in \mathbb{N}^{*}. Majorer les coefficients de AkA^{k}.
(b)(b) Calculer A−1A^{-1}.
(c)(c) Calculer (A−1)k\left(A^{-1}\right)^{k} pour k∈Nk \in \mathbb{N}.
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
On considère la matrice A=(−1−234)A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\3 & 4\end{array}\right)
(a) Calculer A2−3A+2IA^{2}-3 A+2 I. En déduire que AA est inversible et calculer son inverse.
(b) Pour n≥2n \geq 2, déterminer le reste de la division euclidienne de XnX^{n} par X2−3X+2X^{2}-3 X+2.
(c) En déduire l'expression de la matrice AnA^{n}.
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Calculer AnA^{n} pourA=(110011001)A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)de deux manières différentes.
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
On considère la matrice A=(111011001)A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)
et on pose B=A−IB=A-I.
Calculer BnB^{n} pour n∈Nn \in \mathbb{N}
et en déduire l'expression de AnA^{n}.
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