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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient E1,…,EnE_{1}, \ldots, E_{n} et F1,…,FnF_{1}, \ldots, F_{n} sous-espaces vectoriels de EE tel que Ei⊂FiE_{i} \subset F_{i} et

⨁i=1nEi=⨁i=1nFi\bigoplus_{i=1}^{n} E_{i}=\bigoplus_{i=1}^{n} F_{i}

Montrer que Ei=FiE_{i}=F_{i}
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Pour d∈Nd \in \mathbb{N}, notons HdH_{d} l'ensemble formé des fonctions polynomiales de R2\mathbb{R}^{2} vers R\mathbb{R} homogènes de degré dd i.e. pouvant s'écrire comme combinaison linéaire de fonction monôme de degré dd.
Montrer que (Hd)0≤d≤n\left(H_{d}\right)_{0 \leq d \leq n} est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient n∈Nn \in \mathbb{N} et E=Rn[X]E=\mathbb{R}_{n}[X].
Pour tout i∈⟦0;n⟧i \in \llbracket 0 ; n \rrbracket, on note Fi={P∈E∣∀j∈⟦0;n⟧\{i},P(j)=0}.F_{i}=\{P \in E \mid \forall j \in \llbracket 0 ; n \rrbracket \backslash\{i\}, P(j)=0\} .
Montrer que les FiF_{i} sont des sous-espaces vectoriels et que E=F0⊕⋯⊕FnE=F_{0} \oplus \cdots \oplus F_{n}
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient F,G,F′,G′F, G, F^{\prime}, G^{\prime} des sous-espaces vectoriels d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE vérifiant
F⊕G=F′⊕G′=E et F′⊂G. F \oplus G=F^{\prime} \oplus G^{\prime}=E \text { et } F^{\prime} \subset G \text {. }
Montrer
F⊕F′⊕(G∩G′)=E.F \oplus F^{\prime} \oplus\left(G \cap G^{\prime}\right)=E .
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 2
Soit F={f∈F(R,R)∣f(0)+f(1)=0}F=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0)+f(1)=0\}.
(a) Montrer que FF est un sous-espace vectoriel.
(b) Déterminer un supplémentaire de FF dans F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Dans l'espace E=C([0;π],R)E=\mathcal{C}([0 ; \pi], \mathbb{R}) on considère les parties
F={f∈E∣f(0)=f(π/2)=f(π)} et G=Vect⁡(sin⁡,cos⁡)F=\{f \in E \mid f(0)=f(\pi / 2)=f(\pi)\} \text { et } G=\operatorname{Vect}(\sin , \cos )
Montrer que FF et GG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de EE.
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 4
SoientH={(x1,x2,…,xn)∈Kn∣x1+x2+⋯+xn=0}H=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}et
u=(1,…,1)∈Knu=(1, \ldots, 1) \in \mathbb{K}^{n}.
Montrer que HH et Vect (u)(u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Kn\mathbb{K}^{n}
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient F={f∈C([−1;1],C)∣∫−11f(t)dt=0}F=\left\{f \in \mathcal{C}([-1 ; 1], \mathbb{C}) \mid \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0\right\} et G={f∈C([−1;1],C)∣fG=\{f \in \mathcal{C} ([-1 ; 1], \mathbb{C}) \mid f constante }\}. \\ Montrer que FF et GG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C([−1;1],C)\mathcal{C} ([-1 ; 1], \mathbb{C}).
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient F={f∈C1(R,R)∣f(0)=f′(0)=0}F=\left\{f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0)=f^{\prime}(0)=0\right\} et G={x↦ax+b∣(a,b)∈R2}G=\left\{x \mapsto a x+b \mid(a, b) \in \mathbb{R}^{2}\right\}.
Montrer que FF et GG sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C1(R,R)\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 4
Soient F,G,F′,G′F, G, F^{\prime}, G^{\prime} des sous-espaces vectoriels de EE tels que F∩G=F′∩G′F \cap G=F^{\prime} \cap G^{\prime}.
Montrer que
(F+(G∩F′))∩(F+(G∩G′))=F\left(F+\left(G \cap F^{\prime}\right)\right) \cap\left(F+\left(G \cap G^{\prime}\right)\right)=F
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 2
Soient F,GF, G et HH trois sous-espaces vectoriels d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE.
Montrer que
F⊂G⟹F+(G∩H)=(F+G)∩(F+H)F \subset G \Longrightarrow F+(G \cap H)=(F+G) \cap(F+H)
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 2
À quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un sous-espace vectoriel?
a)
b)
c)
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient F,GF, G et HH des sous-espaces vectoriels d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE. Comparer :
(a) F∩(G+H)F \cap(G+H) et (F∩G)+(F∩H)(F \cap G)+(F \cap H).
(b) F+(G∩H)F+(G \cap H) et (F+G)∩(F+H)(F+G) \cap(F+H).
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Maths Approfondies
Algèbre
Difficulté 3
Soient FF et GG des sous-espaces vectoriels de EE.
Montrer
F∩G=F+G⟺F=G.F \cap G=F+G \Longleftrightarrow F=G .$
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