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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 4
On donne la décomposition en facteurs irréductibles d'un entier n≥2n \geq 2.n=p1α1…prαrn=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{r}^{\alpha_{r}} Et note P\mathrm{P} la probabilité uniforme sur Ω=⟦1;n⟧\Omega=\llbracket 1 ; n \rrbracket. (a) Que définit la fonction d'Euler φ(n)\varphi(n) ? Rappeler sa valeur.<br/>(b)Soit<br/> (b) Soit dundiviseurde un diviseur de net et D(d)l′ensembledesesmultiplesdans l'ensemble de ses multiples dans \Omega.Calculer. Calculer \mathrm{P}(D(d)).(c)Onnote. (c) On note Al′ensembledesentiersde l'ensemble des entiers de \Omegapremiersavec premiers avec n;montrer; montrerA=⋂k=1rD(pk)‾A=\bigcap_{k=1}^{r} \overline{D\left(p_{k}\right)}(d)Retrouverlavaleurde (d) Retrouver la valeur de \varphi(n)$.
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 3
Soient A1,…,AnA_{1}, \ldots, A_{n} des événements mutuellement indépendants.
Montrer que la probabilité qu'aucun des AiA_{i} ne soit réalisé est inférieure à
exp⁡(−∑i=1nP(Ai))\exp \left(-\sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}\left(A_{i}\right)\right)
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 2
Soient A,B,CA, B, C trois événements tels que AA et B∪CB \cup C d'une part,
AA et B∩CB \cap C d'autre part, soient indépendants.
Les événements AA et BB sont-ils indépendants?
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 2
Soient A,B,CA, B, C trois événements tels que AA et BB d'une part,
AA et CC d'autre part soient indépendants.
Les événements AA et B∪CB \cup C sont-ils indépendants?
Même question avec AA et B∩CB \cap C.
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 3
Montrer qu'un évènement AA est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si, P(A)=0\mathrm{P}(A)=0 ou 1 .
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 2
Soient AA et BB deux évènements indépendants.
Les évènements AA et Bˉ\bar{B} sont-ils aussi indépendants?
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Maths Approfondies
Probabilités
Difficulté 2
On lance à dé à six faces parfaitement équilibré.
Justifier l'indépendance des évènements
A=≪A=\ll on obtient le tirage 2,4 ou 6»6 » et
B=≪B=\ll on obtient le tirage 3 ou 6»6 ».
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