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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Soient a<b∈R‾a<b \in \overline{\mathbb{R}} et f:]a;b[→Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction croissante.
Montrer que l'application x↦lim⁡x+fx \mapsto \lim _{x+} f est croissante.
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 4
(a) Soit g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction périodique convergeant en +∞+\infty. Montrer que gg est constante.
(b) Soient f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telles que ff converge en +∞,g+\infty, g périodique et f+gf+g croissante.
Montrer que gg est constante.
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes
(a) lim⁡x→0+⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0+}\lfloor 1 / x\rfloor
(b) lim⁡x→0x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor
(c) lim⁡x→0x2⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}\lfloor 1 / x\rfloor
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a) lim⁡x→0x⋅sin⁡(1x)\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)
(c) lim⁡x→+∞ex−sin⁡x\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x-\sin x}
(b) lim⁡x→+∞xcos⁡exx2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \cos \mathrm{e}^{x}}{x^{2}+1}
(d) lim⁡x→+∞x+arctan⁡xx\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\arctan x}{x}
(e) lim⁡x→0x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor
(f) lim⁡x→+∞x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow+\infty} x\lfloor 1 / x\rfloor
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a) lim⁡x→01+x−1−xx\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
(b) lim⁡x→+∞x−xln⁡x+x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{\ln x+x}
(c) lim⁡x→0+xx\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}
(d) lim⁡x→0(1+x)1/x\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}
(e)lim⁡x→1+ln⁡x⋅ln⁡(ln⁡x)\lim _{x \rightarrow 1+} \ln x \cdot \ln (\ln x)\\
(f) lim⁡x→11−xarccos⁡x\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\arccos x}
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II et aa un point de II qui n'en soit pas une extrémité. Si le rapport 12h(f(a+h)−f(a−h))\frac{1}{2 h}(f(a+h)-f(a-h)) admet une limite finie quand hh tend vers 0 , celle-ci est appelée dérivée symétrique de ff en aa.
(a) Montrer que, si ff est dérivable à droite et à gauche en aa, elle admet une dérivée symétrique en aa.
(b) Que dire de la réciproque?
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 4
Soit f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que lim⁡−∞f=−1\lim _{-\infty} f=-1 et lim⁡+∞f=1\lim _{+\infty} f=1.
Montrer que ff s'annule.
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Soient a<b∈R‾a<b \in \overline{\mathbb{R}} et f:]a;b[→Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction croissante.
Montrer que l'application x↦lim⁡x+fx \mapsto \lim _{x^{+}} f est croissante.
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 4
(a) Soit g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction périodique convergeant en +∞+\infty. Montrer que gg est constante.
(b) Soient f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telles que ff converge en +∞,g+\infty, g périodique et f+gf+g croissante. Montrer que gg est constante.
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes:
(a) lim⁡x→0+⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0+}\lfloor 1 / x\rfloor
(b) lim⁡x→0x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor
(c) lim⁡x→0x2⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}\lfloor 1 / x\rfloor
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a) lim⁡x→0x⋅sin⁡(1x)\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)
(c) lim⁡x→+∞ex−sin⁡x\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x-\sin x}
(b) lim⁡x→+∞xcos⁡exx2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \cos \mathrm{e}^{x}}{x^{2}+1}
(d) lim⁡x→+∞x+arctan⁡xx\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\arctan x}{x}
(e) lim⁡x→0x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor
(f) lim⁡x→+∞x⌊1/x⌋\lim _{x \rightarrow+\infty} x\lfloor 1 / x\rfloor
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Maths Appliquées 1
Analyse
Difficulté 3
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a) lim⁡x→01+x−1−xx\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
(c) lim⁡x→0+xx\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}
(e) lim⁡x→0(1+x)1/x\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}
(b) lim⁡x→+∞x−xln⁡x+x\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{\ln x+x}
(d)lim⁡x→1+ln⁡x⋅ln⁡(ln⁡x)\lim _{x \rightarrow 1+} \ln x \cdot \ln (\ln x)
(f) lim⁡x→11−xarccos⁡x\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\arccos x}
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