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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3

À quelle condition existe-t-il des matrices A,B∈Mn(R)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})
vérifiant (AB−BA)2=In(A B-B A)^{2}=\mathrm{I}_{n} ?
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soit ff un endomorphisme non nul de R3\mathbb{R}^{3} vérifiant f3+f=0f^{3}+f=0.
(a) Montrer que ff n'est pas surjectif.
(b) Montrer que ff n'est pas diagonalisable et que R3=Im⁡f⊕Ker⁡f\mathbb{R}^{3}=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} f.
(c) Montrer que, pour tout x∈E\Ker⁡fx \in E \backslash \operatorname{Ker} f, la famille (f(x),f2(x))\left(f(x), f^{2}(x)\right) est une base de Im ff et calculer la trace de ff.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soit EE et FF deux R\mathbb{R}-espaces vectoriels de dimension finie, n=dim⁡E,p=dim⁡Fn=\operatorname{dim} E, p=\operatorname{dim} F.
Soit f∈L(E,F)f \in \mathcal{L}(E, F). On noteH={g∈L(F,E),f∘g∘f=0}H=\{g \in \mathcal{L}(F, E), f \circ g \circ f=0\}
(a) Si ff est bijectif, montrer H={0}H=\{0\}.
(b) Montrer que dim⁡H=np−r2\operatorname{dim} H=n p-r^{2} avec r=rg⁡fr=\operatorname{rg} f.
(c) On suppose que E=FE=F et on définit l'application φ:g↦f∘g∘f\varphi: g \mapsto f \circ g \circ f. Montrertr⁡φ=(tr⁡f)2\operatorname{tr} \varphi=(\operatorname{tr} f)^{2}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soient A1,…,Ak∈Mn(R)A_{1}, \ldots, A_{k} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant
A1+⋯+Ak=In et ∀i tel que 1≤i≤k,Ai2=Ai. A_{1}+\cdots+A_{k}=\mathrm{I}_{n} \text { et } \forall i \text{ tel que }1 \leq i \leq k, A_{i}^{2}=A_{i} \text {. }
Montrer ∀1≤i≠j≤k,AiAj=On\forall 1 \leq i \neq j \leq k, A_{i} A_{j}=\mathrm{O}_{n}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 5
Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel de dimension finie n>1n>1.
Montrer que f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) de rang 1 n'est pas forcément un projecteur.
Montrer que f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de L(E)\mathcal{L}(E) constituée de projecteurs.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Pour AA et BB fixées dans Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), résoudre dans Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) l'équation
X=tr⁡(X)A+BX=\operatorname{tr}(X) A+B
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 2
Soit A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Calculer la trace de l'endomorphisme f∈Mn(R)f \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) donné par
f(M)=AM+MAf(M)=A M+M A
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
(a) Soit ff une forme linéaire sur Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant
∀A,B∈Mn(R),f(AB)=f(BA)\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), f(A B)=f(B A)
Montrer que ff est proportionnelle à la trace.
(b) Soit gg un endomorphisme de l'espace vectoriel Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant
g(AB)=g(BA)g(A B)=g(B A)
pour toutes A,B∈Mn(R)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) et g(In)=Ing\left(I_{n}\right)=I_{n}.
Montrer que gg conserve la trace.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soit ff une forme linéaire sur Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant
∀A,B∈Mn(R),f(AB)=f(BA)\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), f(A B)=f(B A)
Montrer que ff est proportionnelle à la trace.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
(a) Soit GG un sous-groupe fini de GLn(R)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) tel que ∑g∈Gtr⁡g=0\sum_{g \in G} \operatorname{tr} g=0. Montrer que ∑g∈Gg=0\sum_{g \in G} g=0
(b) Soit GG un sous-groupe fini de GLn(R),V\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), V un sous-espace vectoriel de Rn\mathbb{R}^{n} stable par les éléments de GG. Montrer qu'il existe un supplémentaire de VV dans Rn\mathbb{R}^{n} stable par tous les éléments de GG.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient K=R\mathbb{K}=\mathbb{R} ou C\mathbb{C} et HH une partie non vide et finie de GLn(K)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) stable par multiplication.
(a) Soit M∈HM \in H. Montrer que k∈N∗↦Mk∈Hk \in \mathbb{N}^{*} \mapsto M^{k} \in H n'est pas injective. En déduire que HH est un sous-groupe de GLn(K)\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}).
Soientq=∣H∣ et P=1q∑M∈HMq=|H| \text { et } P=\frac{1}{q} \sum_{M \in H} M (b) Montrer, si M∈HM \in H, que MP=PM=PM P=P M=P. En déduire P2=PP^{2}=P.
(c) Trouver un supplémentaire, dans Mn,1(K)\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}), stable par tous les éléments de HH, de⋂M∈HKer⁡(M−In)\bigcap_{M \in H} \operatorname{Ker}\left(M-I_{n}\right) (d) Montrer que∑M∈Htr⁡M∈qN\sum_{M \in H} \operatorname{tr} M \in q \mathbb{N}Que dire si cette somme est nulle?
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 5
(a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d'un projecteur est-il égal à sa trace?
(b) Soit A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) vérifiant Aq=InA^{q}=I_{n}.Montrer
dim⁡Ker⁡(A−In)=1q∑k=0q−1tr⁡(Ak)\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(A-I_{n}\right)=\frac{1}{q} \sum_{k=0}^{q-1} \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
On note tr la forme linéaire trace sur E=Mn(K)E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
Établir
Ker⁡(tr⁡)=Vect⁡{[A,B]∣A,B∈E}\operatorname{Ker}(\operatorname{tr})=\operatorname{Vect}\{[A, B] \mid A, B \in E\}
où l'on note [A,B]=AB−BA[A, B]=A B-B A.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 2
Soit φ\varphi une forme linéaire sur Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
Montrer qu'il existe A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) tel que pour tout M∈Mn(K),φ(M)=tr⁡(AM)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), \varphi(M)=\operatorname{tr}(A M).
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit MM une matrice carrée de taille nn à coefficients dans K\mathbb{K} sous-corps de C\mathbb{C}.
Montrer que si tr⁡M=0\operatorname{tr} M=0, il existe deux matrices AA et BB telles que
M=AB−BAM=A B-B A
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 2
Soient A∈Mn(R)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) et φ\varphi l'endomorphisme de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini par φ(M)=MA\varphi(M)=M A
Exprimer la trace de φ\varphi en fonction de celle de AA.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 2
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) de rang 1 . Montrer
f2=tr⁡(f)ff^{2}=\operatorname{tr}(f) f
À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur?
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Existe-t-il des matrices A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) vérifiant AB−BA=In?A B - B A=I_{n} ?
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
(a) Exprimer le rang de M=(AAAB)M=\left(\begin{array}{ll}A & A \\A & B\end{array}\right)
(b) Calculer l'inverse de MM lorsque cela est possible.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soit A=(1−100010000−11000−1)A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right) Calculer AnA^{n} pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A,B,C,D∈Mn(K)A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et M=(ABCD)∈M2n(K)M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\C & D\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{K})
On suppose que les matrices A,DA, D et MM sont inversibles.
Exprimer M−1M^{-1}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈Mn(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et
B=(OnAInOn)∈M2n(K)B=\left(\begin{array}{cc}O_{n} & A \\I_{n} & O_{n}\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2 n}(\mathbb{K})
(a) Montrer que AA est inversible si, et seulement si, BB l'est.
(b) Calculer BpB^{p} pour tout p∈Np \in \mathbb{N}.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈GLp(R),B∈Mp,q(R),C∈Mq(R)A \in \mathrm{GL}_{p}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R}), C \in \mathcal{M}_{q}(\mathbb{R}) et
M=(ABOq,pC)∈Mp+q(R)M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\O_{q, p} & C\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{p+q}(\mathbb{R})
Déterminer le rang de MM en fonction de celui de CC.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈Mn(K),B∈Mp(K),C∈Mn,p(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K}), C \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K}) et M=(ACOp,nB)∈Mn+p(K)M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\O_{p, n} & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{K}) On suppose BB inversible. Établir rg⁡M=p⟺A=On\operatorname{rg} M=p \Longleftrightarrow A=O_{n}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soient B∈Mn,p(K)B \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K}) et C∈Mp(K)C \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K}).
Montrer
rg⁡(InBOp,nC)=n+rg⁡C\operatorname{rg}\left(\begin{array}{cc}I_{n} & B \\O_{p, n} & C\end{array}\right)=n+\operatorname{rg} C
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈Mn(K),B∈Mp(K)A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K}) et MM la matrice
M=(AOn,pOp,nB)∈Mn+p(K)M=\left(\begin{array}{cc}A & O_{n, p} \\O_{p, n} & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{K})
Établir
rg⁡M=rg⁡A+rg⁡B.\operatorname{rg} M=\operatorname{rg} A+\operatorname{rg} B .
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 5
Soient A,B,C,D∈Mn(K)A, B, C, D \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}).
(a) On note (AB)∈Mn,2n(K)\left(\begin{array}{ll}A & B\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n, 2 n}(\mathbb{K}) la matrice obtenue en accolant les colonnes de BB à droite de celles de AA.
Montrer rg⁡(AB)=rg⁡A⟺∃U∈Mn(K),B=AU\operatorname{rg}\left(\begin{array}{ll}A & B\end{array}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists U \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), B=A U
(b) On note (AC)∈M2n,n(K)\left(\frac{A}{C}\right) \in \mathcal{M}_{2 n, n}(\mathbb{K}) la matrice obtenue en accolant les lignes de CC en dessous de celles de AA.
Montrer rg⁡(AC)=rg⁡A⟺∃V∈Mn(K),C=VA\operatorname{rg}\left(\frac{A}{C}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), C=V A
(c) En déduire rg⁡(ABCD)=rg⁡A⟺∃U,V∈Mn(K),(ABCD)=(AAUVAVAU)\operatorname{rg}\left(\begin{array}{ll}A & B \\C & D\end{array}\right)=\operatorname{rg} A \Longleftrightarrow \exists U, V \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\left(\begin{array}{cc}A & B \\C & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & A U \\V A & V A U\end{array}\right)
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soient (X1,…,Xn)\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) et (Y1,…,Yn)\left(Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right) deux familles libres d'éléments de Mn,1(R)\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R}).
Établir que la famille (XitYj)1≤i,j≤n\left(X_{i}^{t} Y_{j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} est une base de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) constituée de matrices de rang 1.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit H∈Mn(C)H \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) une matrice de rang 1 .
(a) Montrer qu'il existe des matrices U,V∈Mn,1(K)U, V \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}) telles que H=UtVH=U^{t} V.
(b) En déduireH2=tr⁡(H)HH^{2}=\operatorname{tr}(H) H
(c) On suppose tr⁡H≠−1\operatorname{tr} H \neq-1. Montrer que In+H\mathrm{I}_{n}+H est inversible et(In+H)−1=In−11+tr⁡HH\left(\mathrm{I}_{n}+H\right)^{-1}=\mathrm{I}_{n}-\frac{1}{1+\operatorname{tr} H} H
(d) Soient A∈GLn(K)A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K}) telle que tr⁡(HA−1)≠−1\operatorname{tr}\left(H A^{-1}\right) \neq-1. Montrer que A+HA+H est inversible et(A+H)−1=A−1−11+tr⁡(HA−1)A−1HA−1(A+H)^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+\operatorname{tr}\left(H A^{-1}\right)} A^{-1} H A^{-1}
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit AA une matrice carrée de rang 1
. Montrer qu'il existe λ∈K\lambda \in \mathbb{K} tel que A2=λAA^{2}=\lambda A.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit GG un groupe multiplicatif formé d'éléments de Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Montrer que les éléments de GG ont tous le même rang.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈M3,2(R)A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R}) et B∈M2,3(R)B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) matrices de rang 2 vérifiant (AB)2=AB(A B)^{2}=A B.
Montrer BA=I2B A=I_{2}.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient A∈M3,2(R)A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R}) et B∈M2,3(R)B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) telles queAB=(100010000)A B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right) (a)(a) Déterminer les rangs de AA et BB.
(b)(b) Calculer BAB A en observant (AB)2=AB(A B)^{2}=A B
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Algèbre
Difficulté 3
Soit AA et BB deux matrices carrées d'ordre 3 telles que AB=O3A B=O_{3}.
Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 4
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) définie par M=(110⋯0011⋱⋮⋮⋱⋱⋱00⋱⋱110⋯01)M=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & 1 & \ddots & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\0 & & \ddots & \ddots & 1 \\1 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right)
(a)(a) Donner le rang de MM et la dimension de son noyau.
(b)(b) Préciser noyau et image de MM.
(c)(c) Calculer MnM^{n}.
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Algèbre
Difficulté 5
Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :
(a) (111b+cc+aa+bbccaab)\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b c & c a & a b\end{array}\right)
(b) (1cos⁡θcos⁡2θcos⁡θcos2θcos3θcos2θcos3θcos4θ)\left(\begin{array}{ccc}1 & \cos \theta & \cos 2 \theta \\ \cos \theta & cos 2 \theta & cos 3 \theta \\ cos 2 \theta & cos 3 \theta & cos 4 \theta\end{array}\right)
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Algèbre
Difficulté 2
Calculer le rang des applications linéaires suivantes :
(a) f:K3→K3f: \mathbb{K}^{3} \rightarrow \mathbb{K}^{3} définie par
f(x,y,z)=(−x+y+z,x−y+z,x+y−z)f(x, y, z)=(-x+y+z, x-y+z, x+y-z)
(b) f:K3→K3f: \mathbb{K}^{3} \rightarrow \mathbb{K}^{3} définie par
f(x,y,z)=(x−y,y−z,z−x).f(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x) .
(c) f:K4→K4f: \mathbb{K}^{4} \rightarrow \mathbb{K}^{4} définie par
f(x,y,z,t)=(x+y−t,x+z+2t,2x+y−z+t,−x+2y+z).f(x, y, z, t)=(x+y-t, x+z+2 t, 2 x+y-z+t,-x+2 y+z) .
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Algèbre
Difficulté 2
Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R3\mathbb{R}^{3} :
(a) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(1,1,0),x2=(1,0,1)x_{1}=(1,1,0), x_{2}=(1,0,1) et x3=(0,1,1)x_{3}=(0,1,1)
(b) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(2,1,1),x2=(1,2,1)x_{1}=(2,1,1), x_{2}=(1,2,1) et x3=(1,1,2)x_{3}=(1,1,2)
(c) (x1,x2,x3)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) avec x1=(1,2,1),x2=(1,0,3)x_{1}=(1,2,1), x_{2}=(1,0,3) et x3=(1,1,2)x_{3}=(1,1,2).
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Algèbre
Difficulté 4
Soit ff un endomorphisme non nul d'un R\mathbb{R}-espace vectoriel EE de dimension 3 vérifiant f3+f=0f^{3}+f=0.
(a) Soit x∈Ex \in E. Démontrer que si x=y+zx=y+z avec y∈Ker⁡fy \in \operatorname{Ker} f et z∈Ker⁡(f2+Id)z \in \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right) alors y=x+f2(x)y=x+f^{2}(x) et z=−f2(x)z=-f^{2}(x).
(b) Montrer queE=Ker⁡f⊕Ker⁡(f2+Id)E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right).
(c) Prouver dim⁡Ker⁡(f2+Id)≥1\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right) \geq 1. Montrer que, si x∈Ker⁡(f2+Id)\{0}x \in \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right) \backslash\{0\} alors (x,f(x))(x, f(x)) est une famille libre de Ker⁡(f2+Id)\operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right).
(d) Que vaut det⁡(−Id)\operatorname{det}(-\mathrm{Id}) ? En déduire dim⁡Ker⁡(f2+Id)=2\operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(f^{2}+\mathrm{Id}\right)=2.
(e) Déterminer une base de EE dans laquelle la matrice de ff est
(00000−1010)\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 \\0 & 1 & 0\end{array}\right)
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Algèbre
Difficulté 3
Soient EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que fn=0f^{n}=0 et fn−1≠0f^{n-1} \neq 0.
Montrer qu'il existe une base B\mathcal{B} de EE pour laquelle :
Mat⁡B(f)=(010⋱⋱⋱100)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & & 0 \\& \ddots & \ddots & \\& & \ddots & 1 \\0 & & & 0\end{array}\right)
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Algèbre
Difficulté 3
SoitA=(2−1−1−12−1−1−12)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\-1 & 2 & -1 \\-1 & -1 & 2\end{array}\right) On note B=(e1,e2,e3)\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) la base canonique de R3\mathbb{R}^{3}. $$ Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $A$.
(a) Déterminer $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^{3}$.
(b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de $f$ dans cette base.
(c) Décrire $f$ comme composée de transformations vectorielles élémentaires.
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Algèbre
Difficulté 3
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel muni d'une base B=(i,j,k)\mathcal{B}=(i, j, k).
Soit ff l'endomorphisme de EE dont la matrice dans B\mathcal{B} est A=(2−1−110−11−10)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\1 & 0 & -1 \\1 & -1 & 0\end{array}\right)
(a) Calculer A2A^{2}. Qu'en déduire sur ff ?
(b) Déterminer une base de Im⁡f\operatorname{Im} f et Ker⁡f\operatorname{Ker} f.
(c) Quelle est la matrice de ff relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im⁡f\operatorname{Im} f et Ker⁡f\operatorname{Ker} f ?
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Algèbre
Difficulté 3
Soit ff un endomorphisme d'un K\mathbb{K}-espace vectoriel EE de dimension n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} vérifiantfn=0 et fn−1≠0. f^{n}=0 \text { et } f^{n-1} \neq 0 \text {. }
(a) Justifier qu'il existe un vecteur x∈Ex \in E tel que la famille B=(x,f(x),f2(x),…,fn−1(x))\mathcal{B}=\left(x, f(x), f^{2}(x), \ldots, f^{n-1}(x)\right) forme une base de EE.
(b) Déterminer les matrices de f,f2,…,fn−1f, f^{2}, \ldots, f^{n-1} dans cette base.
(c) En déduire que{g∈L(E)∣g∘f=f∘g}=Vect⁡(Id⁡,f,f2,…,fn−1)\{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f=f \circ g\}=\operatorname{Vect}\left(\operatorname{Id}, f, f^{2}, \ldots, f^{n-1}\right)
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Algèbre
Difficulté 4
Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension 3 et f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E) tel que f2≠0f^{2} \neq 0 et f3=0f^{3}=0.
Montrer qu'il existe une base de EE dans laquelle la matrice de ff est
(000100010)\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{array}\right)
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soit φ\varphi l'endomorphisme de Rn[X]\mathbb{R}_{n}[X] défini par φ(P)=P(X+1)\varphi(P)=P(X+1).
(a) Écrire la matrice AA de φ\varphi dans la base canonique B\mathcal{B} de Rn[X]\mathbb{R}_{n}[X].
(b) Justifier que AA est inversible et calculer A−1A^{-1}.
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Algèbre
Difficulté 3
On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3\mathbb{R}^{3} suivants :P={(x,y,z)∈R3∣x+2y−z=0} et D=Vect⁡(w) ouˋ w=(1,0,−1)P=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-z=0\right\} \text { et } D=\operatorname{Vect}(w) \text { où } w=(1,0,-1)
On note B=(i,j,k)\mathcal{B}=(i, j, k) la base canonique de R3\mathbb{R}^{3}.
On note pp la projection vectorielle sur PP parallèlement à DD, qq celle sur DD parallèlement à PP, et enfin, ss la symétrie vectorielle par rapport à PP et parallèlement à DD.
(a) Former la matrice de pp dans B\mathcal{B}.
(b) En déduire les matrices, dans B\mathcal{B}, de qq et de ss.
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Maths Appliquées 2
Algèbre
Difficulté 3
Soient a∈C∗a \in \mathbb{C}^{*} et f:C→Cf: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} définie par f(z)=z+azˉf(z)=z+a \bar{z}.
(a) Former la matrice de l'endomorphisme ff du R\mathbb{R}-espace vectoriel C\mathbb{C} dans la base (1,i)(1, i).
(b) Déterminer image et noyau de ff.
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Algèbre
Difficulté 3
Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires ff suivantes :
(a) f:{R3→R2(x,y,z)↦(x+y,y−2x+z)f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\(x, y, z) & \mapsto(x+y, y-2 x+z)\end{aligned}\right.
(b) f:{R3→R3(x,y,z)↦(y+z,z+x,x+y)f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}^{3} & \rightarrow \mathbb{R}^{3} \\(x, y, z) & \mapsto(y+z, z+x, x+y)\end{aligned}\right.
(c) f:{R3[X]→R3[X]P↦P(X+1)f:\left\{\begin{aligned} \mathbb{R}_{3}[X] & \rightarrow \mathbb{R}_{3}[X] \\ P & \mapsto P(X+1)\end{aligned}\right.<br/>(d) <br/> (d) f:{R3[X]→R4P↦(P(1),P(2),f:\left\{\begin{aligned}\mathbb{R}_{3}[X] & \rightarrow \mathbb{R}^{4} \\P & \mapsto(P(1), P(2),\end{aligned}\right.$
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