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Soit XX une variable aléatoire suivant une loi binomiale, α∈]0;1[\alpha \in ]0 ; 1 [. Qu'est-ce qu'un intervalle de fluctuation au seuil de 1 - α\alpha ?
C'est un intervalle [a;b][a ; b] tel que p(a≤X≤b)≤1p(a \leq X \leq b) \leq 1 - α\alpha.
Meˊthode : {\LARGE \text{Méthode : }} \\ À la calculatrice, comment déterminer le plus petit entier kk tel que p(X≤k)≥pp(X\leq k) \geq p, ou le plus grand entier kk tel que p(X≥k)≥pp(X\geq k) \geq p ?
Pour déterminer le plus petit entier kk tel que p(X≤k)≥pp(X\leq k) \geq p :
Sur calculatrice Ti-83 : aller dans le menu Table, faire varier XX de 00 à +∞+\infty avec un pas de 11, puis renseigner pour Y1Y_1 dans f(x)\fbox{f(x)} : 2nde\fbox{2nde} var\fbox{var} A:binomFReˊp\textbf{A:binomFRép} en indiquant les valeurs de nn, pp et dans la troisième ligne, taper XX \\ Sur calculatrice Casio GRAPH 90+ : de façon similaire, dans le menu Table, taper Y1 = BinomialCD(x,n,p)\textbf{Y1 = BinomialCD(x,n,p)} \\ Il suffit alors de regarder le tableau de valeurs et de chercher la première valeur de XX vérifiant que la probabilité associée dans le tableau est supérieure à pp.
Pour déterminer le plus grand entier kk tel que p(X≥k)≥pp(X\geq k) \geq p, il suffit de se ramener à la méthode précédente en passant par l'événement complémentaire : p(X≥k)≥p⇔1−p(X<k)≥p⇔1−p(X≤k−1)≥p⇔p(X≤k−1)≤1−pp(X\geq k) \geq p \Leftrightarrow 1 - p(X < k) \geq p \Leftrightarrow 1 - p(X \leq k-1) \geq p \Leftrightarrow p(X\leq k-1) \leq 1-p
Meˊthode : {\LARGE \text{Méthode : }} \\ À la calculatrice, comment déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil de 1−α1- \alpha associé à une variable aléatoire binomiale XX ?
À la calculatrice, on cherche le plus petit entier aa tel que p(X≤a)>α2p(X\leq a) > \frac{\alpha}{2}, et le plus petit entier bb tel que p(X≤b)>1−α2p(X\leq b) > 1 - \frac{\alpha}{2}. Le résultat est alors [a;b][a;b].
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