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Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=μE(X)=\mu et de variance V(X)=VV(X)=V.
Pour tout réel strictement positif δ\delta, on a : p(∣X−μ∣≥δ)≤Vδ2p(|X-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{\delta^{2}},
c'est-à-dire, p(X∉]μ−δ;μ+δ[)≤Vδ2p(X \notin ] \mu-\delta ; \mu+\delta[) \leq \frac{V}{\delta^{2}}.
Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=μE(X)=\mu et d'écart-type σ(X)=σ\sigma(X)=\sigma, et k∈N∗k \in \mathbf{N}^*. Majorer p(∣X−μ∣≥kσ)p(|X-\mu| \geq k\sigma) et minorer p(∣X−μ∣<kσ)p(|X-\mu|<k \sigma).
p(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2p(∣X−μ∣<kσ)≥1−1k2p(|X-\mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^{2}} \quad p(|X-\mu|<k \sigma) \geq 1-\frac{1}{k^{2}}
Énoncer l'inégalité de concentration.
Soit (X1;X2;…;Xn)\left(X_{1} ; X_{2} ; \ldots ; X_{n}\right) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ\mu et de variance VV, et Mn=X1+X2+…+XnnM_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n} la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ\delta, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2p(|M_{n}-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n \delta^{2}}.
Énoncer la loi faible des grands nombres.
Soit (X1;X2;…;Xn)\left(X_{1} ; X_{2} ; \ldots ; X_{n}\right) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ\mu et
Mn=X1+X2+…+XnnM_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n} la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ\delta fixé, lim⁡n→+∞p(∣Mn−μ∣≥δ)=0\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} p\left(\left|M_{n}-\mu\right| \geq \delta \right)=0.
Comment résoudre l'exercice suivant ? Un sac contient 5 boules où figurent le numéro 1, 3 où figurent le numéro 2, et 2 où figure le numéro 3. Combien de tirages avec remise doit-on effectuer au minimum pour être sûr, au seuil de 95 \%, que la moyenne des numéros obtenus soit comprise entre 1,6 et 1,8 ?
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