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MPSI/PCSI
Eˊnoncer le theˊoreˋme dela bijection reˊciproque.
Soit f:I⟶R, avec I unintervalle de R.On suppose que f est continueet strictement monotone sur I. Alors f deˊfinit une bijection f~de I sur f(I). De plus, f~−1 est continue,strictement monotone de meˆmemonotonie que f.
Donner le lien entrel’injectiviteˊ et la strictemonotonie.
Soit f:E⟶R une fonction. Si f est strictementmonotone, f est injective. Attention, la reˊciproqueest fausse en geˊneˊral.
Meˊthode :Soit f:[−23,+∞[⟶R tel que :f(x)=x2+3x−7
Comment montrer, sans utiliserle theˊoreˋme des valeursintermeˊdiaires, que l’eˊquationf(x)=π admet une et uneunique solution ?
f est continue et strictementmonotone sur [−23,+∞[ avecf(−23)<0<π. D’apreˋs le theˊoreˋme de labijection reˊciproque, f induitdonc une bijection, doncl’eˊquation a une et une uniquesolution.
Exprimer en termes dequantificateurs le fait que : f:E⟶R est majoreˊe,puis minoreˊe, puis borneˊe,et donner la deˊfinition d’unmajorant et d’un minorant de f.
- On dit que f est majoreˊe si : ∃M∈R,∀x∈E,f(x)⩽M.Un tel reˊel M est appeleˊ unmajorant de f.
- On dit que f est minoreˊe si : ∃m∈R,∀x∈E,f(x)⩾m.Un tel reˊel m est appeleˊ unminorant de f.
- On dit que f est borneˊe si fest aˋ la fois majoreˊe etminoreˊe, i.e. si :∃K⩾0,∀x∈E,∣f(x)∣⩽K.
Soit f:E⟶R et a∈E. Exprimer en termes dequantificateurs le fait quea soit un minimum, puisun maximum de f.
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i,j). Soit f:E⟶R. Que dire du graphe dex⟼−f(x) et dex⟼f(−x) par rapportaˋ celui de f ?
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i,j). Soient f:E⟶R, a∈R. Que dire du graphe de x⟼f(x)+a et dex⟼f(x+a) par rapportaˋ celui de f ?
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Soit E un ensemble symeˊtriquepar rapport aˋ 0, i.e. tel que : ∀x∈E,−x∈E. Donner la deˊfinition d’unefonction paire, et d’unefonction impaire sur E.
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Meˊthode :Deˊterminer la pariteˊ (fonctionpaire ou impaire) eˊventuelledes fonctions suivantes : f:x⟼x2−3,g:x⟼−2x3+3x−5h:x⟼x2+3x+6.
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Meˊthode :Soit T>0.Soit f:E⟶R. Que signifie de dire quef est T-peˊriodique ?
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Soit f:E⟶R. Donner la deˊfinitiond’un point fixe de f.
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