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MPSI/PCSI
Soit M(zm) et N(zn)}deux points du plan. Quel est l’affixe de MN ?Que vaut la distance MN ?
MN(zn−zm) MN=∣zn−zm∣
Soit M(zm) et N(zn)deux points du plan. Quel est l’affixe dumilieu I de [MN] ?
zI=2zm+zn
Placer A d’affixe zA=1+2i dans leplan complexe.
A(1,2)
Quel est l’ensemble des pointsdu plan complexe dont l’affixez veˊrifie que : Re(z)=Im(z) ?
C’est la premieˋre bissectrice.
Quel est l’ensemble des pointsdu plan complexe dont l’affixez veˊrifie que : Re(z)=3 ?
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Soit z=a+ib. ∣z∣= ?
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z×zˉ= ?
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Soit z,z′ deux nombrescomplexes. ∣z′z∣= ?
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Soit z∈U. Deˊmontrer que z1∈U.
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Eˊnoncer l’ineˊgaliteˊtriangulaire pour descomplexes.
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Donner une conditionneˊcessaire et suffisantesur l’argument de z∈Cpour que z∈iR+.
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arg(−z)≡ ? [2π]
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arg(zˉ)≡ ? [2π]
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Eˊnoncer les deux formulespermettant de deˊterminerun argument d’un nombrecomplexe.
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Meˊthode :
Comment deˊterminer la formetrigonomeˊtrique et exponentiellede z=−1+i ?
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Deˊterminer l’ensemble des pointsMd’affixe z tels que : arg(z)≡-2π[2π].
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cos(a−b)= ?
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cos(a+b)= ?
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sin(a+b)= ?
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sin(a−b)= ?
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cos(2a)= ? (3 reˊsultats)
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sin(2a)= ?
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Soit z,z′ deux complexes.arg(zz′)≡ ? [2π]
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Soit z un complexe, et n∈N.arg(zn)≡ ? [2π]
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Meˊthode :Comment reˊsoudre dans [−π,π],l’eˊquation cos(2x)=sin(x) ?
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Quelle est la formeexponentielle d’unnombre complexe ?
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Meˊthode :Comment passer de la formeexponentielle d’un nombrecomplexe aˋ sa forme algeˊbrique ?
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eiθ′eiθ= ?
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eiθ= ?
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Eˊnoncer la formule deMoivre (sous ses deuxformes).
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Meˊthode :Comment deˊterminercos(nθ) ou sin(nθ)en fonction des puissancede cos(θ) et de sin(θ)respectivement, pour n∈N ?
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Eˊnoncer les deuxformules d’Euler.
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Meˊthode :Soit n∈N.Comment exprimercosnθou sinnθ en fonction descos(kθ) et sin(kθ) pourk∈[[0;n]] ?
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Exprimer, sous formeexponentielle, les racinesn-ieˋmes de l’uniteˊ.
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Soit A(zA),B(zB),C(zC),D(zD)quatres points distincts. (AB,CD)≡ ? [2π]
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Soit u(z) et v(z′).Donner une condition neˊcessaireet suffisante sur z et z′ pour queu et v soient colineˊaires, et demeˆme pour que u et v soientorthogonaux.
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Meˊthode :On pose z=2−6+i2.Comment deˊterminer laforme algeˊbrique de z4235 ?
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Meˊthode :Comment reˊsoudre,pour z∈C : (z+1)5=1 ?
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Meˊthode :Soit z=ei52π et z′=ei125π. Comment deˊterminerefficacement la formeexponentielle de z+z′.
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