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Qu'est-ce que la fonction polynomiale de Taylor d'ordre n en a associée à f ?
La fonction définie sur mathbbR\\mathbb{R} par xmapstosumk=0nfracf(k)(a)k!(x−a)kx \\mapsto \\sum_{k=0}^{n} \\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}
Quelle est la formule de Taylor à l'ordre n avec reste intégral ?
f(b)=sumk=0nfracf(k)(a)k!(b−a)k+Rnf(b)=\\sum_{k=0}^{n} \\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^{k}+R_{n} où Rn=intabfrac(b−t)nn!f(n+1)(t)mathrmdtR_{n}=\\int_{a}^{b} \\frac{(b-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(t) \\mathrm{d} t
Comment s'écrit la formule de Taylor à l'ordre 0 ?
f(b)=f(a)+intabfprime(t)mathrmdtf(b)=f(a)+\\int_{a}^{b} f^{\\prime}(t) \\mathrm{d} t
Quel est l'autre nom de la formule de Taylor avec reste intégral ?
Formule de Taylor-Laplace
Quelle est l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n ?
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Que retrouve-t-on dans le cas particulier où n=0 dans l'inégalité de Taylor-Lagrange ?
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Quelle est la condition sur f pour appliquer la formule de Taylor avec reste intégral ?
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Comment définit-on M dans l'inégalité de Taylor-Lagrange ?
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Que représente R_n dans la formule de Taylor avec reste intégral ?
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Sur quel ensemble est définie la fonction polynomiale de Taylor ?
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Qu'est-ce qu'une fonction dominée par φ au voisinage de a ?
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Comment note-t-on qu'une fonction f est dominée par φ au voisinage de a ?
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Qu'est-ce qu'une fonction négligeable devant φ au voisinage de a ?
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Comment note-t-on qu'une fonction f est négligeable devant φ au voisinage de a ?
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Quelle est la relation entre o et O ?
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Que signifie f=O(1)f = O(1) ?
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Que signifie f=o(1)f = o(1) ?
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Quelle est la relation entre xαx^α et xβx^β au voisinage de 0 si α < β ?
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Quelle est la relation entre xαx^α et xβx^β au voisinage de +∞ si α < β ?
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Comment se comporte le produit de deux fonctions dominées ?
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Comment se comporte la somme de deux fonctions dominées par φ ?
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Quelle est la condition sur le quotient racfφrac{f}{φ} pour que f=O(φ)f = O(φ) ?
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Comment se comporte (lnx)b(\\ln x)^b par rapport à xax^a quand x→+∞x → +∞ ?
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Comment se comporte xbx^b par rapport à eaxe^{ax} quand x→+∞x → +∞ ?
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Définition de l'équivalence de fonctions au voisinage de a
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Comment exprimer l'équivalence de fonctions avec une fonction u ?
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Que peut-on dire si fsimgf \\sim g ?
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La relation sim\\sim est-elle une relation d'équivalence ?
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Condition pour que fsimgf \\sim g en termes de limite du quotient
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Équivalent d'une fonction polynomiale non nulle au voisinage de 0
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Équivalent d'une fonction polynomiale non nulle au voisinage de pminfty\\pm \\infty
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Relation entre limite et équivalence pour ellneq0\\ell \\neq 0
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Si g=o(f)g = o(f), que peut-on dire de f+gf+g ?
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Énoncé de la proposition d'obtention d'un équivalent par encadrement
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Équivalent de f(x)−f(a)f(x)-f(a) si ff est dérivable en aa avec f′(a)neq0f'(a) \\neq 0
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Équivalent de ln(1+x)\\ln(1+x) au voisinage de 0
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Équivalent de (1+x)^\\alpha - 1 au voisinage de 0, pour alphainmathbbR∗\\alpha \\in \\mathbb{R}^*
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Si fsimgf \\sim g et gg a une limite en aa, que peut-on dire de ff ?
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Si fsimgf \\sim g et gg est strictement positive au voisinage de aa, que peut-on dire de ff ?
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Comment calculer la fonction polynomiale de Taylor d'ordre n en a pour f(x)=exf(x) = e^x ?
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Quelle est l'expression du reste intégral dans la formule de Taylor-Laplace ?
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Comment utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange pour majorer l'erreur d'approximation ?
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Comment vérifier rapidement la cohérence de la formule de Taylor à l'ordre 0 ?
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Que devient l'inégalité de Taylor-Lagrange dans le cas particulier où n = 0 ?
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Comment estimer sin(1.1)\\sin(1.1) à l'ordre 3 autour de a=pi/3a=\\pi/3 ?
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Quelle est la meilleure façon d'estimer l'erreur dans l'approximation de exe^x par son polynôme de Taylor d'ordre n ?
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Comment utiliser la formule de Taylor pour prouver que limxto0racsinxx=1\\lim_{x \\to 0} rac{\\sin x}{x} = 1 ?
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Quelle est l'utilité pratique de la formule de Taylor avec reste intégral par rapport à celle avec reste de Lagrange ?
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Comment utiliser la formule de Taylor pour approximer sqrt1.1\\sqrt{1.1} à l'ordre 2 autour de 1 ?
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Montrer que x3sin(1/x)x^3 \\sin(1/x) est dominée par x3x^3 au voisinage de 0.
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Prouver que x2=o(sinx)x^2 = o(\\sin x) quand xx tend vers 0.
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Comparer xalphax^{\\alpha} et xbetax^{\\beta} au voisinage de 0 pour alpha<beta\\alpha < \\beta.
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Comparer xalphax^{\\alpha} et xbetax^{\\beta} au voisinage de +infty+\\infty pour alpha<beta\\alpha < \\beta.
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Si f=O(g)f = O(g) et g=o(h)g = o(h), que peut-on dire de ff par rapport à hh ?
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Montrer que sqrtx=o(x)\\sqrt{x} = o(x) au voisinage de +infty+\\infty.
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Prouver que ln(x)=o(xa)\\ln(x) = o(x^a) pour tout a>0a > 0 quand xto+inftyx \\to +\\infty.
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Montrer que ex=o(x!)e^x = o(x!) quand xto+inftyx \\to +\\infty.
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Si f=o(g)f = o(g) et g=O(h)g = O(h), que peut-on conclure sur ff par rapport à hh ?
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Démontrer que x2=O(ex)x^2 = O(e^x) au voisinage de +infty+\\infty.
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Soit f(x)=x3+2x2+xf(x) = x^3 + 2x^2 + x. Quel est son équivalent le plus simple au voisinage de 0 ?
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Si f(x)simg(x)f(x) \\sim g(x) au voisinage de aa, que peut-on dire de sqrtf(x)\\sqrt{f(x)} et sqrtg(x)\\sqrt{g(x)} ?
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Soit f(x)=sin(x)+x3f(x) = \\sin(x) + x^3. Déterminez son équivalent le plus simple au voisinage de 0.
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Si f(x)simx2f(x) \\sim x^2 et g(x)sim2x2g(x) \\sim 2x^2 au voisinage de 0, que peut-on dire de f(x)+g(x)f(x) + g(x) ?
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Soit f(x)=ex−1−xf(x) = e^x - 1 - x. Quel est son équivalent le plus simple au voisinage de 0 ?
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Si f(x)simg(x)f(x) \\sim g(x) au voisinage de +infty+\\infty et g(x)>0g(x) > 0 pour xx suffisamment grand, que peut-on dire de f(x)f(x) ?
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Soit f(x)=ln(1+x)−xf(x) = \\ln(1+x) - x. Quel est son équivalent le plus simple au voisinage de 0 ?
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Si f(x)simxf(x) \\sim x et g(x)simx2g(x) \\sim x^2 au voisinage de 0, que peut-on dire de f(g(x))f(g(x)) ?
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Soit f(x)=fracsin(x)x−1f(x) = \\frac{\\sin(x)}{x} - 1. Quel est son équivalent le plus simple au voisinage de 0 ?
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Si f(x)simg(x)f(x) \\sim g(x) au voisinage de aa et limxtoag(x)=+infty\\lim_{x \\to a} g(x) = +\\infty, que peut-on dire de limxtoaf(x)\\lim_{x \\to a} f(x) ?
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Soit f(x)=arctan(x)−xf(x) = \\arctan(x) - x. Quel est son équivalent le plus simple au voisinage de 0 ?
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Si f(x)simx2f(x) \\sim x^2 et g(x)simx3g(x) \\sim x^3 au voisinage de 0, que peut-on dire de f(x)/g(x)f(x)/g(x) ?
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