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Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=μE(X)=\mu et de variance V(X)=VV(X)=V.
Pour tout réel strictement positif δ\delta, on a :
p(∣X−μ∣≥δ)≤Vδ2p(|X-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{\delta^{2}}.
Soit XX une variable aléatoire d'espérance E(X)=μE(X)=\mu et d'écart-type σ(X)=σ\sigma(X)=\sigma, et k∈N∗.k \in \mathbf{N}^*. \\ Majorer p(∣X−μ∣≥kσ)p(|X-\mu| \geq k\sigma) et minorer p(∣X−μ∣<kσ)p(|X-\mu|<k \sigma).
p(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2p(|X-\mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^{2}}
p(∣X−μ∣<kσ)≥1−1k2p(|X-\mu|<k \sigma) \geq 1-\frac{1}{k^{2}}
Énoncer l'inégalité de concentration.
Soit (X1;X2;…;Xn)\left(X_{1} ; X_{2} ; \ldots ; X_{n}\right) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ\mu et de variance VV, et Mn=X1+X2+…+XnnM_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n} la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ\delta, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2p(|M_{n}-\mu| \geq \delta) \leq \frac{V}{n \delta^{2}}.
Énoncer la loi faible des grands nombres.
Soit (X1;X2;…;Xn)\left(X_{1} ; X_{2} ; \ldots ; X_{n}\right) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ\mu et Mn=X1+X2+…+XnnM_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n} la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ\delta fixé, lim⁡n→+∞p(∣Mn−μ∣≥δ)=0\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} p\left(\left|M_{n}-\mu\right| \geq \delta \right)=0.
Meˊthode : {\LARGE \text{Méthode : }} \\ Comment résoudre l'exercice suivant ? Un sac contient 5 boules où figurent le numéro 1, 3 où figurent le numéro 2, et 2 où figure le numéro 3. Combien de tirages avec remise doit-on effectuer au minimum pour être sûr, au seuil de 95%, que la moyenne des numéros obtenus soit comprise entre 1,6 et 1,8 ?
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Avec N=10000, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Qu'est-ce que la loi des grands nombres nous indique sur la relation entre la taille de l'échantillon et l'écart entre la moyenne et l'espérance ?
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Pour N=100, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Pour N=1000, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Si N tend vers l'infini, à quoi tend la probabilité que Mn-3 soit supérieur ou égal à 0,1, selon la loi des grands nombres ?
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Qu'est-ce qui se rapproche de plus en plus de 0 lorsque N augmente, selon l'énoncé ?
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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli?
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Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,2?
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Quelle est la variance d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,2?
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Quelle est l'inégalité utilisée pour déterminer la taille de l'échantillon dans ce problème?
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Quelle est la taille minimale de l'échantillon pour que la probabilité que la moyenne appartienne à l'intervalle 0,03, 0,37 soit supérieure à 0,95?
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A quoi correspond le Δ dans l'inégalité de concentration?
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