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Soient

a,b\in\Z

n

un entier naturel.
Rappeler la définition de

a\equiv b[n]

a\equiv b[n]

si et seulement s'il existe

k\in\Z

tel que

a=kn+b

Avec quelle(s) opération(s) la relation de congruence est-elle compatible ?

La relation de congruence est compatible avec l'addition et la multiplication.

Soient

a

b

deux entiers relatifs.
Comment s'écrit la division euclidienne de

a

par

b

a=q\,\times\,b+r

\text{avec }0\leq r < b

Soient

a

b

deux entiers relatifs.
Quelle est la définition de

a|b

a|b

si et seulement s'il existe un entier relatif

k

tel que

a=k\,\times\,b

Le théorème de Gauss sert à montrer que si

B

C

sont premiers entre eux et que

B

C

divisent

A

alors :

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Que peut-on dire à propos du nombre

2^{33} - 1

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Quel est le résultat de la somme des dix premiers termes de la suite géométrique de raison

3

et de premier terme

u_0=1

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Quel est le résultat de l'algorithme pour

n = 33

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Qu'est ce que le nombre 127 par rapport aux nombre de Mersenne ?

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Quelle est l'opération effectuée sur le nombre entier X attribué à chaque lettre lors du codage du message?

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Quelle lettre la lettre M est-elle codée en utilisant la fonction de codage?

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À quoi correspond le mot 'WHL' une fois décodé avec la fonction de décodage?

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Qu'est-ce que le but de l'utilisation de l'algorithme de Clid dans le processus de décodage?

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Qu'est-ce que le mot 'MATH' est codé en utilisant la fonction de codage?

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À quel nombre est associée la lettre A dans le codage affine?

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Qu'est-ce qu'un séparateur dans le contexte du chiffrement affine utilisé?

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Quel est le nombre associé au séparateur dans le codage affine?

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Qu'est-ce que l'on obtient si x=0 dans la relation de congruence 4x + 3 ≡ y (mod 27)?

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Dans le codage affine, à quelle lettre de l'alphabet le nombre 3 correspond-il?

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Qu'est-ce que Y lui est congru à 4X+3 modulo 27 représente?

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Pour X=1 dans le codage affine, quel est le nouveau Y?

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Quelle est la lettre codée correspondant à X=1 ?

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En utilisant la relation de congruence pour le codage affine, qu'obtenez-vous quand X=12 ?

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Quelle est la lettre codée correspondant à X=12 dans le codage affine ?

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Quelle est la propriété simple sur les puissances utilisée pour abaisser la puissance?

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Quel est le reste de

2^{15}

dans sa division euclidienne par

5

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Quelle était la valeur de P qui correspond à une puissance de 2 égale à 1 modulo 5?

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Quel est le reste de

3^{241}

dans sa division euclidienne par

7

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Dans

2^P

congru à 1 modulo 7, quelle est la valeur de P?

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Qu'est-ce que la congruence en mathématiques?

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Combien de fois 2 doit-il être multiplié par lui-même pour obtenir 16?

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Quel est le reste de la division euclidienne de

8

par

7

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Combien de fois 2 doit-il être multiplié par lui-même pour obtenir 8?

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Combien de fois 3 doit-il être multiplié par lui-même pour obtenir 1 modulo 7?

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Que signifie "

4^{2n}-1

congru à

0

modulo

3

" ?

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Quelle est la première étape pour démontrer :

4^{2n}-1\equiv0 [3]

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Quelle congruence obtenons-nous après avoir pris le carré de

4

dans notre démonstration?

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Quel est le résultat de

4^{2n}

en modulo

3

avant la soustraction?

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Quelle congruence obtenons-nous après la soustraction dans notre démonstration?

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Comment pourrait-on exprimer que

4^{2n}-1

est congru à

0

modulo

3

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Qu'est-ce que le modulo dans les mathématiques?

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Qu'est-ce qu'une congruence en mathématiques?

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Quels sont les restes possibles de la division par 3 d'un nombre entier non-nul ?

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Qu'est-ce qu'une disjonction des cas en mathématiques ?

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n

est un entier naturel congru à

2

modulo

3

.
À quoi est congru

n^{3}

modulo

3

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Pour un nombre entier

n

, quelle est la valeur de

n

s'il est congru à

0

modulo

5

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En termes de congruence modulo

4

, à quoi est égal

n+3

n

est congru à

2

modulo

4

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Compléter l'équation de congruence suivante en utilisant la propriété du
produit :
Si

n

est congru à

0

modulo

3

, alors

n (n-5)(n+2)

est congru à ... modulo

3

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Qu'est la valeur de k dans l'équation 3x = 5 + 4k ?

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Quelles sont les restrictions sur

x

pour l'équation :

3x\equiv 1[ 4]

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Quels sont les possibles valeurs de 3x modulo 4 lorsqu'on teste différentes valeurs entières de x ?

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Quelles sont les solutions de l'équation :

3x\equiv 5 [ 4 ]

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Si x = 2, quelle est la valeur de 3x modulo 4 ?

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Si x = 3, quelle est la valeur de 3x modulo 4 ?

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Si x = 4, quelle est la valeur de 3x modulo 4 ?

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Si x = 5, quelle est la valeur de 3x modulo 4 ?

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Qu'est-ce que le test de congruence modulo 4 révèle sur les solutions possibles de l'équation 3x est congru à 5 modulo 4 ?

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On aimerait déterminer les entiers x tel que

6 + x \equiv 5 (mod 3)

. Quelle est l'équivalence de cette équation en terme des éléments x?

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Quelle opération met l'équation

6 + x \equiv 5 (mod 3)

en forme normale ?

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Donner l'ensemble des solutions de cette équation :

x \equiv -1 [3]

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Quelle est notre congruence finale pour l'équation initiale?

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Quelle est l'ensemble de solutions à l'équation initiale?

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Du coup, comme k peut prendre toutes les valeurs de?

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Quel changement est effectué à

-1

dans l'équation

x\equiv-1[5]

pour le rendre plus lisible dans le contexte d'une congruence ?

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Quelle est l'équation originale?

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A \equiv 1 \mod{4}

B \equiv 2 \mod{4}

, quelle est la valeur de

A + B \mod{4}

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A \equiv 1 \mod{4}

B \equiv 2 \mod{4}

, quelle est la valeur de

A - B \mod{4}

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A \equiv 1\mod{4}

, quelle est la valeur de

A^2\mod{4}

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B \equiv 2 \mod{4}

, quelle est la valeur de

4B \mod{4}

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A\equiv 2[4]

B \equiv 5 [4]

, à quoi est congru

A^2 + 4B - 6

modulo

4

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A \equiv -1 \mod{7}

B \equiv 4 \mod{7}

, quelle est la valeur de

A + B \mod{7}

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A \equiv -1 \mod{7}

B \equiv 4 \mod{7}

, quelle est la valeur de

A - B \mod{7}

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A \equiv -1 [7]

A^2\equiv\ldots[7]

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A \equiv 1 \mod{10}

B \equiv -5 \mod{10}

, quelle est la valeur de

A+B \mod{10}

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A \equiv 1 \mod{10}

, quelle est la valeur de

A^2 \mod{10}

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Qu'est-ce que la congruence en mathématiques?

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214

est congru à ___ modulo

9

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Quel est le nombre qui valide l'équation

214 = 25 + k*9

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214 est également congru à ___ modulo 9.

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Le nombre pour lequel

214

est congru modulo

9

doit être ___ au modulo.

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Quel est le reste de la division euclidienne de 214 par 9?

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189 est-il divisible par 9 ?

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Quel est le quotient de 189 divisé par 9?

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Un nombre est congru à lui-même modulo quel nombre ?

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A

est congru à

B

modulo

n

que peut-on dire de

A - B

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17 est congru à quel nombre modulo 10 afin de être positive?

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Quel est la congruence de 45 modulo 3 ?

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-8

est congru à quel nombre modulo

12

, compris entre

0

11

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13 est congru à quel nombre modulo 5 qui est compris entre 0 et 5?

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Quel nombre doit-on rajouter pour que -8 soit congru à un nombre positif modulo 12?

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Donner une definition pour la congruence :

A\equiv B[n]

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Dans la congruence 13 congru à 3 modulo 5, que vaut A ?

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Dans la congruence 45 congru à 0 modulo 3, que vaut B ?

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Qu'est-ce qu'une démonstration par disjonction des cas ?

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Quel est le reste d'une division euclidienne de n par 3 ?

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Qu'est-ce qui permet de conclure que le produit d'un nombre n facteur de n plus 5 facteur de n moins 5 est divisible par 3 dans le cas où n est égal à 3q ?

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Comment pouvons-nous écrire un nombre à partir d'une division euclidienne par deux ?

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En définissant un nombre comme 2q ou 2q plus 1, que suggérons-nous sur le nombre ?

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Comment s'écrit la relation qui lie deux entiers

a

b

lorsque l'on fait la relation euclidienne de

a

par

b

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Dans l'énoncé, à quoi correspond A dans la relation euclidienne ?

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À quoi correspond B dans la relation euclidienne mentionnée dans l'énoncé?

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Quel est le quotient trouvée dans l'énoncé, en supposant que

n >= 3

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Quel est le reste trouvé dans l'énoncé, en supposant que

n >= 3

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Quelle est la valeur de

n

si le quotient de la division de

5n + 11

par

2n + 3

est 3 et le reste est 2 ?

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Quelle est la valeur de

n

si le quotient de la division de

5n + 11

par

2n + 3

est 3 et le reste est 1 ?

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Quelle est la valeur de

n

si le quotient de la division de

5n + 11

par

2n + 3

est 3 et le reste est 0 ?

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Pour quelles valeurs de n le quotient

Q = 2

et le reste

R = n + 5

sont valables dans la division de

5n + 11

par

2n + 3

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Vis-à-vis de l'équation

n + 5 < 2n + 3

, quelle est la valeur de n ?

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Quelle est l'opération effectuée pour déterminer le reste dans un exemple de division euclidienne?

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Quel est le quotient de

5000

divisé par

17

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Qu'est-ce qui est appelé le 'reste' dans une division euclidienne?

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Quel est le quotient de

-5000

divisé par

17

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Qu'est-ce qui est appelé le 'reste' dans une division euclidienne avec des entiers négatifs?

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Que faut-il faire si le reste est négatif dans une division euclidienne?

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L'égalité euclidienne avec les variables générales est

a = b \\times q + r

. Qu'est-ce que

r

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Quelle est la première étape pour résoudre l'exercice?

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Comment peut-on simplifier la formule

2n+5n-1

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Que signifie 2n plus 5 divise n moins 1 ?

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Qu'est-ce qu'un antirelatif en mathématiques?

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Qu'indique la présence de combinaisons linéaires dans cette démonstration ?

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Quelle est la nécessité de la démonstration réciproque dans cette démonstration ?

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Qu'est-ce qu'une démonstration par l'absurde?

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Que signifie

6n + 5

est divisible par 3?

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Qu'indique la contradiction obtenue dans cette démonstration?

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Qu'est-ce que la congruence en mathématiques ?

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Qu'est-ce que signifie '16 est congru à 6 modulo 5' ?

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Quelle est la différence entre 16 et 6 ?

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14 est-il congru à -1 modulo 5 ?

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Que donne la différence 14 - (-1) ?

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11 est-il congru à -1 modulo 4 ?

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Qu'est la notion de progression arithmétique ?

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Qu'est ce que l'inverse modulo n?

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En utilisant modulo 16, quel est l'inverse de 5?

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Quelles sont les solutions de l'équation 5x congru à 7 modulo 16?

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Si A est congru à B modulo N, et qu'on multiplie les deux côtés de l'équation par C, a-t-on toujours une équivalence?

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Comment peut-on résoudre l'équation A est congru à B modulo N?

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