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Eˊcrire en termes de quantificateurs que A⊂B,ouˋ A et B sont deux ensemblesde E\large\text{Écrire en termes de }\\ \text{quantificateurs que }A\subset B,\text{où }\\ A\text{ et }B \text{ sont deux ensembles} \\ \text{de }E
A⊂B⟺∀x∈E,x∈A⟹x∈B\Large A \subset B \Longleftrightarrow \\ \forall x \in E, x \in A \Longrightarrow x \in B
Soit E un ensemble. Deˊfinissez P(E)\LARGE\text{Soit }E\text{ un ensemble.} \\ \ \\ \text{Définissez }\mathcal{P}(E)
P(E)={A∣A∈E}\LARGE \mathcal{P}(E) = \left\{ A \mid A \in E \right\}
Soit E={1,2,3}. Deˊterminez P(E)\LARGE\text{Soit }E = \{1,2,3\}.\\ \ \\ \text{Déterminez }\mathcal{P}(E)
P(E)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},E}\Large \mathcal{P}(E) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\},\\ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, E \}
Soient A et B deux ensemblesde E. Rappelez la deˊfinition de A∪B et A∩B\large\text{Soient }A \text{ et }B \text{ deux ensembles} \\ \text{de }E.\\ \ \\ \text{Rappelez la définition de }\\ \Large A\cup B \large\text{ et }\Large A \cap B
A∪B={x∈E ∣ x∈A ou x∈B} A∩B={x∈E ∣ x∈A et x∈B}\large A \cup B = \left\{ x \in E ~\mid~ x \in A \text{ ou } x \in B \right\} \\ \ \\A \cap B = \left\{ x \in E ~\mid~ x \in A \text{ et } x \in B \right\}
Soit (Ai)i∈Iune familled’eˊleˊments d’un ensemble E. Deˊfinissez ⋃i∈IAi et ⋂i∈IAi\large\text{Soit }\left( A_i \right)_{i \in I} \text{une famille} \\ \text{d'éléments d'un ensemble }E. \\ \ \\ \text{Définissez }\Large \bigcup\limits_{i\in I} A_i \large \text{ et }\Large \bigcap\limits_{i\in I} A_i.
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Soient A et B deux ensemblesde E. Deˊfinissez A\B.\large\text{Soient }A \text{ et }B \text{ deux ensembles} \\ \text{de }E. \\ \ \\ \text{Définissez }A \backslash B.
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Soit A un ensemble de E. Deˊfinissez le compleˊmentaireAˉ de A dans E.\large\text{Soit }A\text{ un ensemble de }E.\\ \ \\ \text{Définissez le complémentaire}\\ \bar{A} \text{ de }A \text{ dans }E.
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Soient A et B deux ensemblesde E. Que signifie de dire que A et B sont disjoints ?\large\text{Soient }A\text{ et }B \text{ deux ensembles} \\ \text{de }E.\\ \ \\ \text{Que signifie de dire que }A\text{ et }B\\ \text{ sont disjoints ?}
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Soit (Ai)i∈I une famille de E. Quels axiomes(Ai)i∈I doitveˊrifier pour que ce soit unepartition de E ?\large\text{Soit }\left( A_i \right)_{i \in I} \text{ une famille de }E. \\ \ \\ \text{Quels axiomes}\left( A_i \right)_{i \in I} \text{ doit} \\ \text{vérifier pour que ce soit une} \\ \text{partition de }E \text{ ?}
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Simplifier les expressionsensemblistes suivantes : (⋃i∈IAi)∩B et (⋂i∈IAi)∪B\large\text{Simplifier les expressions} \\ \text{ensemblistes suivantes :}\\ \ \\ \left(\bigcup\limits_{i \in I} A_i\right) \cap B \text{ et }\left(\bigcap\limits_{i \in I} A_i\right) \cup B
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Simplifier les expressionsensemblistes suivantes : ⋃i∈IAi‾ et ⋂i∈IAi‾\large\text{Simplifier les expressions} \\ \text{ensemblistes suivantes :}\\ \ \\ \overline{\bigcup\limits_{i \in I} A_i}\text{ et }\overline{\bigcap\limits_{i \in I} A_i}
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Soient E1,E2,…Endesensembles de E. Deˊfinisser l’ensemble:E1×…×En\large\text{Soient }E_1, E_2, \ldots E_n \text{des}\\ \text{ensembles de }E. \\ \ \\ \text{Définisser l'ensemble:} \\ E_1 \times \ldots \times E_n
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Deˊterminez {1,2,3}×{0,1}\large\text{Déterminez }\{1,2,3\} \times\{0,1\}.
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Qu'est-ce qu'un ensemble ?
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Comment note-t-on qu'un élément a appartient à un ensemble E ?
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Que signifie définir un ensemble par compréhension ?
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Comment note-t-on l'ensemble vide ?
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Que signifie F est inclus dans E ?
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Comment définit-on l'égalité de deux ensembles E et F ?
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Qu'est-ce que la réunion de deux ensembles E et F ?
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Qu'est-ce que l'intersection de deux ensembles E et F ?
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Comment définit-on la différence ensembliste E \\ F ?
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Qu'est-ce que le complémentaire d'une partie A dans un ensemble E ?
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Comment définit-on le produit cartésien de deux ensembles A et B ?
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Que représente mathcalP(E)\\mathcal{P}(E) ?
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Qu'est-ce qu'une partition d'un ensemble E ?
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Soit E = {1,2,3,4}. Combien d'éléments contient P(E) ?
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Démontrez que A \\ (B ∩ C) = (A \\ B) ∪ (A \\ C).
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Soit f : R → R définie par f(x) = x^2. Exprimez f(R) en termes d'intervalles.
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Soit A = {x ∈ R : -1 ≤ x < 2} et B = {x ∈ R : 0 < x ≤ 3}. Exprimez A ∩ B en notation d'intervalle.
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Soit E un ensemble fini de cardinal n. Combien de partitions de E en deux sous-ensembles non vides peut-on former ?
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Montrez que si A ⊂ B, alors P(A) ⊂ P(B).
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Soit f : A → B et g : B → C deux applications. Exprimez (g ∘ f)^(-1)(C) en termes de f et g.
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Soit E = R^2. Exprimez géométriquement l'ensemble {(x,y) ∈ E : x^2 + y^2 ≤ 1}.
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Prouvez que pour tout ensemble E, on a card(P(E)) ≥ card(E).
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Soit A et B deux ensembles finis. Montrez que card(A × B) = card(A) × card(B).
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