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MPSI/PCSI
Soit une applicationf:E→F. Deˊfinir le graphe Γ de f.
Γ={(x,f(x))∣x∈E}
Soit A⊂E. Deˊfinir la fonction indicatricede A, noteˊe 1A.
1A(x)=1 si x∈A0 sinon
Soit E un ensemble. Deˊfinir la fonction identiteˊde E, noteˊ IdE.
IdE:E⟶Ex⟼x
Soit f une applicationde E dans F, soit A⊂E. Deˊfinir la restriction de faˋ A noteˊe f∣A.
f∣A est l’applicationde A dans F telle que : ∀x∈A,f∣A(x)=f(x).
Soit f une applicationde A dans F, soit A⊂E. Deˊfinir un prolongementde f aˋ E.
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Soit f une applicationde E dans F, soit A⊂E. Deˊfinir l’image directe deA par f noteˊe f(A).
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Soit f une applicationde E dans F, soit B⊂F. Deˊfinir l’image reˊciproquede B par f noteˊe f#(B)ou f−1(B).
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Meˊthode :Soit f:R⟶Rx⟼x2et soit A=[−3,1]. Deˊterminer f(A) et f−1(A)
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Soient E,F et G troisensembles, f:E→F et g:F→G. Deˊfinir l’applicationcomposeˊe de f et gnoteˊe g∘f.
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Meˊthode :Soient f:x⟼x2−3g:x⟼2x+5. Deˊterminer et simplifierf∘g.
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition del’injectiviteˊ de f, et traduirecela en terme de condition surles solutions d’une eˊquation.
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition de lasurjectiviteˊ de f, et traduirecela en terme de condition surles solutions d’une eˊquation.
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition de labijectiviteˊ de f, et traduire celaen terme de condition sur lessolutions d’une eˊquation.
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f et g deux applications de N dans N tel que : f(n)=n+1g(n)=n−1 sur N∗avec g(0)=0
Deˊterminer si f et g sontinjectives et/ou surjectives.
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Meˊthode :Soit f:D⟶R,D⊂R. Comment deˊmontrer la proprieˊteˊsuivante : "si f est strictementmonotone, alors f est injective".
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Que dire de la composeˊede deux fonctions injectives,surjectives, ou bijectives.
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Soient f et g deux applications. Que peut-on conclure sur fet/ou g si l’on sait que g∘fest injective ou si g∘f estsurjective.
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Soit f:E→F bijective. Deˊfinir l’applicationreˊciproque de f noteˊe f−1.
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Soit f:E→F bijective. Deˊterminer f−1∘fet f∘f−1.
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Soit f:E→Fg:F→Gdeux applications bijectives. Deˊterminer (g∘f)−1.
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Soit f:E→E. Donner les deux deˊfinitionseˊquivalentes du fait que fsoit une involution.
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Eˊnoncer les proprieˊteˊs dereˊflexiviteˊ, de symeˊtrie, d’anti-symeˊtrie et de transitiviteˊ d’unerelation binaire.
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Donner la deˊfinition d’une relationd’eˊquivalence ainsi sur d’uneclasse d’eˊquivalence.
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Soit E un ensemble muni d’unerelation d’eˊquivalence R. Que dire des classesd’eˊquivalence de R ?
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Donner la deˊfinition d’une relationd’ordre. Que signifie de dire que l’ordre estpartiel ou total ?
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