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MPSI/PCSI
Donner la deˊfinition de ladeˊrivabiliteˊ d’une fonctionf en un point x0 et sur unintervalle I.
f est dite deˊrivable enun point x0 de I s’ilexiste un reˊel ℓ tel que :ℓ=x→alimx−af(x)−f(a)ce qui est eˊquivalent aˋ :ℓ=h⟶0limhf(a+h)−f(a)On dit que f est deˊrivablesur I lorsque f est deˊrivableen tout points de I.
Soient f et g deux fonctionsdeˊfinies sur un intervalle Ide R.Soient λ et μ deux reˊels. Quelle est la deˊriveˊe deλf+μg et fg ?
Les fonctions λf+μget fg sont deˊrivablessur I, et l’on a : (λf+μg)′=λf′+μg′(fg)′=fg′+f′g.
Soient f et g deux fonctionsdeˊrivables sur I.Aˋ quelle condition la fonctiongf est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de gf.
Si la fonction g ne s’annulepas sur I, alors la fonctionf/g est deˊrivable sur I,et l’on a : (gf)′=g2f′g−fg′.
Soient I,J et K trois intervalles.Soient f et g deux fonctionstels que :f:I⟶Jg:J⟶KAˋ quelles conditions la fonctiong∘f est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de (g∘f)′.
Si f est une fonction deˊrivablesur I, et aˋ valeurs dans J etsi g une fonction deˊrivable surJ alors la fonction g∘f estdeˊrivable sur I, et l’on a : (g∘f)′=(g′∘f)×f′.
Soit f une fonction deˊrivableen a.Deˊterminer l’eˊquation reˊduitede la tangente TA aˋ la courbede f au point d’abscisse a.
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Donner la deˊfinition d’unefonction de classe C1.
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Soit f une fonction deˊfiniesur I\{x0}.Aˋ quelle condition f est elleprolongeable par continuiteˊen x0 ?Et donner la forme de g, sonprolongement par continuiteˊ.
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Soit f:I⟶R une fonctiondeˊrivable sur a∈I. Quelle information suppleˊmentairepeut-on alors deˊduire sur f ?
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Meˊthode :Comment reˊsoudre desexercice du type :Deˊterminer l’ensemble dedeˊrivabiliteˊ de la fonctionsuivante : arctan(1+x22x) ?
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Meˊthode :Comment deˊterminer ladeˊriveˊe nieˋme de : h:x↦x2ln(1+x) ?
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Meˊthode : Comment deˊterminer la deˊriveˊede la fonction reˊciproque ?
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