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Donner la deˊfinition de ladeˊrivabiliteˊ d’une fonctionf en un point x0 et sur unintervalle I.\large\text{Donner la définition de la}\\ \text{dérivabilité d'une fonction}\\ f\text{ en un point }x_0\text{ et sur un}\\ \text{intervalle }I.
f est dite deˊrivable enun point x0 de I s’ilexiste un reˊel ℓ tel que :ℓ=lim⁡x→af(x)−f(a)x−ace qui est eˊquivalent aˋ :ℓ=lim⁡h⟶0f(a+h)−f(a)hOn dit que f est deˊrivablesur I lorsque f est deˊrivableen tout points de I.\large f\text{ est dite dérivable en}\\ \text{un point }x_0\text{ de }I\text{ s'il}\\ \text{existe un réel }\ell\text{ tel que :}\\ \ell=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}\Large\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\large\\ \text{ce qui est équivalent à :}\\ \ell=\lim\limits_{\substack{h \longrightarrow 0}}\Large\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\large\\ \text{On dit que }f\text{ est dérivable}\\ \text{sur }I\text{ lorsque }f\text{ est dérivable}\\ \text{en tout points de }I.
Soient f et g deux fonctionsdeˊfinies sur un intervalle Ide R.Soient λ et μ deux reˊels. Quelle est la deˊriveˊe deλf+μg et fg ?\large\text{Soient }f\text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{définies sur un intervalle }I\\ \text{de }\mathbb{R}.\\ \text{Soient }\lambda\text{ et }\mu\text{ deux réels.}\\ \ \\ \text{Quelle est la dérivée de}\\ \lambda f+\mu g\text{ et }fg\text{ ?}
Les fonctions λf+μget fg sont deˊrivablessur I, et l’on a : (λf+μg)′=λf′+μg′(fg)′=fg′+f′g.\large\text{Les fonctions }\lambda f+\mu g\\ \text{et }fg\text{ sont dérivables}\\ \text{sur }I,\text{ et l'on a :}\\ \ \\ (\lambda f+\mu g)^{\prime}=\lambda f^{\prime}+\mu g^{\prime}\\ (fg)^{\prime}=fg^{\prime}+f^{\prime}g .
Soient f et g deux fonctionsdeˊrivables sur I.Aˋ quelle condition la fonctionfg est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de fg\large \text{Soient }f\text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{dérivables sur }I.\\ \large\text{À quelle condition la fonction}\\ \Large\frac{f}{g}\large\text{ est elle dérivable sur }I\text{ ?}\\ \ \\ \text{Déterminer la forme de }\Large\frac{f}{g}.
Si la fonction g ne s’annulepas sur I, alors la fonctionf/g est deˊrivable sur I,et l’on a : (fg)′=f′g−fg′g2. \large\text{Si la fonction }g\text{ ne s'annule}\\ \text{pas sur }I,\text{ alors la fonction}\\f / g\text{ est dérivable sur }I,\\ \text{et l'on a :}\\ \ \\ \LARGE\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} g-f g^{\prime}}{g^2}\text {. }
Soient I,J et K trois intervalles.Soient f et g deux fonctionstels que :f:I⟶Jg:J⟶KAˋ quelles conditions la fonctiong∘f est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de (g∘f)′.\large\text{Soient }I, J\text{ et }K\text{ trois intervalles.}\\ \text{Soient }f \text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{tels que :}\\f : I \longrightarrow J\\ g:J\longrightarrow K\\ \text{À quelles conditions la fonction}\\g\circ f\text{ est elle dérivable sur }I\text{ ?}\\ \ \\ \text{Déterminer la forme de }(g\circ f)^{\prime}.
Si f est une fonction deˊrivablesur I, et aˋ valeurs dans J etsi g une fonction deˊrivable surJ alors la fonction g∘f estdeˊrivable sur I, et l’on a : (g∘f)′=(g′∘f)×f′.\large\text{Si }f\text{ est une fonction dérivable}\\ \text{sur }I,\text{ et à valeurs dans }J\text{ et}\\ \text{si }g\text{ une fonction dérivable sur}\\ J\text{ alors la fonction }g\circ f\text{ est}\\ \text{dérivable sur }I,\text{ et l'on a :}\\ \ \\ (g\circ f)^{\prime}=\left(g^{\prime}\circ f\right)\times f^{\prime}.
Soit f une fonction deˊrivableen a.Deˊterminer l’eˊquation reˊduitede la tangente TA aˋ la courbede f au point d’abscisse a.\large\text{Soit }f\text{ une fonction dérivable}\\ \text{en }a.\\ \text{Déterminer l'équation réduite}\\ \text{de la tangente }\mathrm{T}_{\mathrm{A}}\text{ à la courbe}\\ \text{de }f\text{ au point d'abscisse }a.
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Donner la deˊfinition d’unefonction de classe C1\large\text{Donner la définition d'une}\\ \text{fonction de classe }\mathcal{C}^1.
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Soit f une fonction deˊfiniesur I\{x0}.Aˋ quelle condition f est elleprolongeable par continuiteˊen x0 ?Et donner la forme de g, sonprolongement par continuiteˊ.\large\text{Soit }f\text{ une fonction définie}\\ \text{sur }I\backslash\left\{x_0\right\}.\\ \text{À quelle condition }f\text{ est elle}\\ \text{prolongeable par continuité}\\ \text{en }x_0\text{ ?}\\ \text{Et donner la forme de }g,\text{ son}\\ \text{prolongement par continuité.}
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Soit f:I⟶R une fonctiondeˊrivable sur a∈I. Quelle information suppleˊmentairepeut-on alors deˊduire sur f ?\large\text{Soit }f : I\longrightarrow\mathbb{R}\text{ une fonction}\\ \text{dérivable sur }a\in I.\\ \ \\ \text{Quelle information supplémentaire}\\ \text{peut-on alors déduire sur }f\text{ ?}
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Meˊthode :Comment reˊsoudre desexercice du type :Deˊterminer l’ensemble dedeˊrivabiliteˊ de la fonctionsuivante : arctan⁡(2x1+x2) ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre des}\\ \text{exercice du type :}\\ \text{Déterminer l'ensemble de}\\ \text{dérivabilité de la fonction}\\ \text{suivante :}\\ \ \\ \large\arctan(\frac{2x}{1+x^2})\text{ ?}
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Meˊthode :Comment deˊterminer ladeˊriveˊe nieˋme de : h:x↦x2ln⁡(1+x) ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment déterminer la}\\ \text{dérivée }n^{ième}\text{ de :}\\ \ \\h: x\mapsto x^2\ln (1+x)\text{ ?}
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Meˊthode : Comment deˊterminer la deˊriveˊede la fonction reˊciproque ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \ \\ \large\text{Comment déterminer la dérivée}\\ \text{de la fonction réciproque ?}
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