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Donner l’ensemble de deˊpart,d’arriveˊ, de deˊrivabiliteˊ, lesvariations et les proprieˊteˊsprincipales de la fonctionsexponentielle.\large\text{Donner l'ensemble de départ,}\\ \text{d'arrivé, de dérivabilité, les}\\ \text{variations et les propriétés}\\ \text{principales de la fonctions}\\ \text{exponentielle.}
exp:R⟶R∗+Deˊrivable sur R, avec : ∀x∈R,exp′(x)=exp(x) \large exp:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{*+}\\ \text{Dérivable sur }\mathbb{R},\text{ avec : }\\ \forall x\in\mathbb{R},\quad exp'(x)=exp(x)\\ \ \\ Strictement croissante sur R\large\text{Strictement croissante sur }\mathbb{R} ∀a,b∈R:\large\\ \forall a,b\in\mathbb{R} :\\ 1)ea+b=ea×eb\large1)\Large e^{a+b}=e^a\times e^b\\ 2)e−a=1ea\large2)\Large e^{-a}=\frac{1}{e^a}\\ 3)e0=1\large3)\Large e^0=1
Donner l’ensemble de deˊpart,d’arriveˊ, de deˊrivabiliteˊ, lesvariations et les proprieˊteˊsprincipales de la fonctionlogarithme neˊpeˊrien.\large\text{Donner l'ensemble de départ,}\\ \text{d'arrivé, de dérivabilité, les}\\ \text{variations et les propriétés}\\ \text{principales de la fonction}\\ \text{logarithme népérien.}
ln:R∗+⟶RDeˊrivable sur R∗+, avec : ∀x∈R∗+,ln′(x)=1x Strictement croissante sur R∗+∀a,b∈R∗+:1)ln(a×b)=ln(a)+ln(b)2)ln(1a)=−ln(a)3)ln(1)=0\large ln :\mathbb{R}^{*+}\longrightarrow\mathbb{R}\\ \text{Dérivable sur }\mathbb{R}^{*+},\text{ avec : }\\ \forall x\in\mathbb{R}^{*+},ln'(x)=\frac{1}{x}\\ \ \\ \text{Strictement croissante sur }\mathbb{R}^{*+}\\ \forall a,b\in\mathbb{R}^{*+} :\\ 1)ln(a\times b)=ln(a)+ln(b)\\ 2)ln(\frac{1}{a })=-ln(a)\\ 3)ln(1)=0
Rappeler la deˊfinition dela fonction puissance enfonction avec n∈Z. \large\text{Rappeler la définition de}\\ \text{la fonction puissance en}\\ \text{fonction avec }n\in\mathbb{Z}.\\ \ \\ x⟶xn\Large x\longrightarrow x^{n}
- Pour x∈R et n∈N∗ on a :xn=x×x×⋯×x (n fois) - Pour x∈R∗ et n∈Z\Non a :xn=1x−n - Pour x∈R on a :x0=1\large\text{- Pour }x\in\mathbb{R}\text{ et }n\in\mathbb{N}^*\text{ on a :}\\ x^n=x\times x\times\cdots\times x\text{ (}n\text{ fois)}\\ \ \\ \text{- Pour }x\in\mathbb{R}^*\text{ et }n\in\mathbb{Z}\backslash\mathbb{N}\\ \text{on a :}\quad x^n=\frac{1}{x^{-n}}\\ \ \\ \text{- Pour }x\in \mathbb{R}\text{ on a :}\\ x^0=1
Donner la deˊfinition de x⟶xα pour α∈R\Z\Large\text{Donner la définition de}\\ \ \\ x\longrightarrow x^\alpha\text{ pour }\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}
On deˊfinit : fα:  ]0,+∞[⟶Ravec fα(x)=xα=eαln⁡x\Large\text{On définit :}\\ \ \\f_\alpha :\; ]0,+\infty[\longrightarrow\mathbb{R}\\ \text{avec }f_\alpha (x)=x^\alpha=e^{\alpha \ln x}
Donner la deˊriveˊe dela fonction puissancesur R∗+ deˊfinie par : x↦xα avec α∈R\Large\text{Donner la dérivée de}\\ \text{la fonction puissance}\\ \text{sur }\mathbb{R}^{*+}\text{ définie par :}\\ \ \\ x\mapsto x^\alpha\text{ avec }\alpha\in\mathbb{R}.
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Donner les principalesproprieˊteˊs de calculs dela fonction puissance.\Large\text{Donner les principales}\\ \text{propriétés de calculs de}\\ \text{la fonction puissance.}
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Donner les croissancescompareˊes des fonctionslogarithme, puissanceset exponentielle.\Large\text{Donner les croissances}\\ \text{comparées des fonctions}\\ \text{logarithme, puissances}\\ \text{et exponentielle.}
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Rappeler l’ensemble de deˊpart,d’arriveˊe, de deˊrivabiliteˊ etla deˊriveˊe de la fonctionreˊciproque de sinus.\large\text{Rappeler l'ensemble de départ,}\\ \text{d'arrivée, de dérivabilité et}\\ \text{la dérivée de la fonction}\\ \text{réciproque de sinus.}
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Rappeler l’ensemble de deˊpart,d’arriveˊe, de deˊrivabiliteˊ etla deˊriveˊe de la fonctionreˊciproque de cosinus.\large\text{Rappeler l'ensemble de départ,}\\ \text{d'arrivée, de dérivabilité et}\\ \text{la dérivée de la fonction}\\ \text{réciproque de cosinus.}
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Rappeler l’ensemble de deˊpart,d’arriveˊe, de deˊrivabiliteˊ etla deˊriveˊe de la fonctionreˊciproque de tangente.\large\text{Rappeler l'ensemble de départ,}\\ \text{d'arrivée, de dérivabilité et}\\ \text{la dérivée de la fonction}\\ \text{réciproque de tangente.}
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Rappeler la deˊfinitiondu sinus hyperbolique.\Large\text{Rappeler la définition}\\ \text{du sinus hyperbolique.}
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Rappeler la deˊfinitiondu cosinus hyperbolique.\Large\text{Rappeler la définition}\\ \text{du cosinus hyperbolique.}
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Quelle relation veˊrifientles fonctions sh et ch ?\Large\text{Quelle relation vérifient}\\ \text{les fonctions sh et ch ?}
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Meˊthode : Quelles sont les principaleseˊtapes du plan d’eˊtuded’une fonction ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \ \\ \large\text{Quelles sont les principales}\\ \text{étapes du plan d'étude}\\ \text{d'une fonction ?}
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Meˊthode :Comment reˊsoudre lesexercices de la forme :\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre les}\\ \text{exercices de la forme :}\\ Simplifier les expressionssuivantes :\large\text{Simplifier les expressions}\\ \text{suivantes :}\\ arccos⁡(cos⁡−2π3),arcsin⁡(sin⁡4π3)\large\arccos\left(\cos\frac{-2 \pi}{3}\right),\\ \arcsin\left(\sin\frac{4\pi}{3}\right)
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Meˊthode : Comment deˊmontrer uneineˊgaliteˊ du type f(x)≤g(x)\LARGE\text{Méthode :}\\ \ \\ \large\text{Comment démontrer une}\\ \text{inégalité du type }f(x)\leq g(x)
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Meˊthode :Comment lever uneindeˊtermineˊ du type : lim⁡x→−∞3x2+5xe−x ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \Large\text{Comment lever une}\\ \text{indéterminé du type :}\\ \ \\ \lim\limits_{\substack{x \rightarrow-\infty}}\huge\frac{3 x^2+5 x}{e^{-x}}\Large\text{ ?}
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La fonction puissanceest elle continue en 0 ?\Large\text{La fonction puissance}\\ \text{est elle continue en 0 ?}
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Qu'est-ce qu'une translation de vecteur vecu\\vec{u} ?
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Comment est représentée une translation de vecteur vecu\\vec{u} d'affixe aa dans le plan complexe ?
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Qu'est-ce qu'une homothétie de centre Omega\\Omega et de rapport lambda\\lambda ?
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Comment est représentée une homothétie de centre Omega\\Omega d'affixe omega\\omega et de rapport lambda\\lambda dans le plan complexe ?
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Qu'est-ce qu'une rotation de centre Omega\\Omega et d'angle theta\\theta ?
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Comment est représentée une rotation de centre Omega\\Omega d'affixe omega\\omega et d'angle theta\\theta dans le plan complexe ?
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Qu'est-ce qu'une similitude directe du plan ?
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Quelle est la condition pour que trois points AA, BB et CC d'affixes respectives aa, bb et cc soient alignés ?
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Quelle est la condition pour que les vecteurs overrightarrowAB\\overrightarrow{AB} et overrightarrowAC\\overrightarrow{AC} soient orthogonaux ?
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Comment l'application zmapstobarzz \\mapsto \\bar{z} peut-elle être interprétée géométriquement ?
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Quelle est la définition de la fonction logarithme népérien ?
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Quelle est la propriété fondamentale du logarithme népérien ?
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Quel est l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction logarithme népérien ?
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Quelles sont les limites de la fonction logarithme en 0 et +∞ ?
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Quelle est la définition de la fonction exponentielle ?
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Quel est l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction exponentielle ?
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Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?
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Quelle est la propriété fondamentale de la fonction exponentielle ?
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Comment définit-on le logarithme de base a ?
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Quelle est l'inégalité fondamentale impliquant ln(1+x) ?
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Quelle est l'inégalité fondamentale impliquant exp(x) ?
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Comment définit-on xax^a pour x>0x > 0 et ainmathbbRa \\in \\mathbb{R} ?
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Quelle est la notation de la fonction puissance pour ainmathbbRa \\in \\mathbb{R} ?
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Quelle est la dérivée de la fonction puissance varphia(x)=xa\\varphi_a(x) = x^a ?
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Que vaut limxto0xa\\lim_{x \\to 0} x^a pour a>0a > 0 ?
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Que vaut limxto+inftyxa\\lim_{x \\to +\\infty} x^a pour a<0a < 0 ?
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Comment se comporte varphia\\varphi_a en 0 pour 0<a<10 < a < 1 ?
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Quelle est la limite de fraclnxx\\frac{\\ln x}{x} quand xx tend vers +infty+\\infty ?
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Quelle est la limite de xlnxx \\ln x quand xx tend vers 0 ?
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Que vaut limxto+inftyfrac(lnx)bxa\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{(\\ln x)^b}{x^a} pour a,b>0a,b > 0 ?
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Que vaut limxto+inftyfracexp(ax)xb\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\exp(ax)}{x^b} pour a,b>0a,b > 0 ?
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Comment calculer f′(x)f'(x) si f(x)=u(x)v(x)f(x) = u(x)^{v(x)} avec u(x)>0u(x) > 0 ?
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Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?
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Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?
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Quelle est la dérivée de la fonction tangente ?
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Sur quel intervalle la fonction Arc tangente est-elle définie ?
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Quelle est l'image de la fonction Arc tangente ?
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Quelle est la dérivée de la fonction Arc tangente ?
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Sur quel intervalle la fonction Arc sinus est-elle définie ?
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Quelle est l'image de la fonction Arc sinus ?
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Sur quel intervalle la fonction Arc cosinus est-elle définie ?
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Quelle est l'image de la fonction Arc cosinus ?
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Quelle est la dérivée de la fonction Arc sinus sur ]-1,1[ ?
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Quelle est la dérivée de la fonction Arc cosinus sur ]-1,1[ ?
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Quelle est la relation entre Arc cosinus et Arc sinus ?
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Comment simplifier cos(Arcsin(x))cos(Arcsin(x)) pour xin[−1,1]x \\in [-1,1] ?
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Comment exprimer l'alignement de trois points A, B et C d'affixes respectives a, b et c en utilisant les nombres complexes ?
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Quelle condition sur les affixes a, b et c de trois points A, B et C exprime l'orthogonalité des vecteurs AB et AC ?
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Comment représenter une translation de vecteur u d'affixe a dans le plan complexe ?
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Quelle est la représentation complexe d'une homothétie de centre Ω (d'affixe ω) et de rapport λ ?
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Comment exprimer une rotation de centre Ω (d'affixe ω) et d'angle θ dans le plan complexe ?
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Quelle est la forme générale d'une similitude directe dans le plan complexe ?
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Comment déterminer si une similitude directe zmapstoaz+bz \\mapsto az + b est une translation ?
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Dans quelles conditions une similitude directe zmapstoaz+bz \\mapsto az + b est-elle une homothétie ?
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Quand une similitude directe zmapstoaz+bz \\mapsto az + b représente-t-elle une rotation ?
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Quelle transformation géométrique est représentée par l'application zmapstobarzz \\mapsto \\bar{z} ?
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Comment exprimer l'appartenance d'un point M d'affixe z au cercle Γ de diamètre [AB] (A et B d'affixes a et b) ?
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Quelle est la représentation complexe de la symétrie par rapport à un point Ω d'affixe ω ?
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Comment une similitude directe affecte-t-elle les angles entre les vecteurs ?
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Quel est l'effet d'une similitude directe sur le rapport des distances entre points ?
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Calculez ln(e3)\\ln(e^3)
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Résolvez l'équation ln(x)=2\\ln(x) = 2
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Simplifiez ln(x2)+ln(x3)\\ln(x^2) + \\ln(x^3)
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Trouvez xx tel que exp(ln(x))=10\\exp(\\ln(x)) = 10
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Calculez exp(ln(2)+ln(3))\\exp(\\ln(2) + \\ln(3))
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Déterminez le signe de ln(0.5)\\ln(0.5)
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Trouvez la valeur de xx pour laquelle ln(x)=ln(e)\\ln(x) = \\ln(e)
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Simplifiez ln(sqrtx)\\ln(\\sqrt{x})
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Résolvez exp(x)=1\\exp(x) = 1
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Calculez log2(8)\\log_2(8)
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Simplifiez ln(ex+ey)−ln(ex)\\ln(e^x + e^y) - \\ln(e^x)
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Trouvez xx tel que ln(x+1)=x\\ln(x+1) = x
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Calculez exp(ln(3)+ln(4)−ln(2))\\exp(\\ln(3) + \\ln(4) - \\ln(2))
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Résolvez log3(x)=2\\log_3(x) = 2
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Simplifiez ln(fracxy)\\ln(\\frac{x}{y}) en utilisant les propriétés du logarithme
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Comment simplifier l'expression xacdotxbx^a \\cdot x^b ?
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Quelle est la dérivée de xax^a pour tout ainmathbbRa \\in \\mathbb{R} ?
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Comment exprimer xax^a en utilisant les fonctions exp et ln ?
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Quelle est la limite de xax^a quand xx tend vers 0, pour a>0a > 0 ?
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Quelle est la limite de xax^a quand xx tend vers +infty+\\infty, pour a<0a < 0 ?
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Comment se comporte la fonction xax^a en 0 quand 0<a<10 < a < 1 ?
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Comment simplifier ln(xa)\\ln(x^a) ?
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Quelle est la limite de fraclnxx\\frac{\\ln x}{x} quand xx tend vers +infty+\\infty ?
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Comment déterminer la limite de xlnxx^{\\ln x} quand xx tend vers +infty+\\infty ?
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Quelle est la limite de frac(lnx)bxa\\frac{(\\ln x)^b}{x^a} quand xx tend vers +infty+\\infty, pour a>0a > 0 et b>0b > 0 ?
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Comment comparer la croissance de exp(ax)\\exp(ax) et xbx^b quand xx tend vers +infty+\\infty, pour a>0a > 0 et b>0b > 0 ?
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Comment déterminer la limite de x1/x2x^{1/x^2} quand xx tend vers +infty+\\infty ?
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Quelle est la valeur de limhto0fracsin(h)h\\lim_{h \\to 0} \\frac{\\sin(h)}{h} ?
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Comment exprimer cos(n)(x)\\cos^{(n)}(x) en fonction de cos\\cos ?
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Quelle est la période de la fonction tangente ?
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Quelle est l'expression de tan′(x)\\tan'(x) ?
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Quel est l'ensemble de définition de la fonction Arc tangente ?
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Quelle est la relation entre arctan(x)\\arctan(x) et arctan(frac1x)\\arctan(\\frac{1}{x}) pour x>0x > 0 ?
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Comment simplifier cos(arcsin(x))\\cos(\\arcsin(x)) pour xin[−1,1]x \\in [-1,1] ?
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Quelle est l'expression de arcsin′(x)\\arcsin'(x) ?
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Quelle est la relation entre arccos(x)\\arccos(x) et arcsin(x)\\arcsin(x) ?
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Pourquoi arcsin\\arcsin n'est-elle pas dérivable en pm1\\pm 1 ?
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Comment déterminer si y=arctan(x)y = \\arctan(x) ?
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Quelle est l'asymptote de la fonction f(x)=xarctan(x)f(x) = x \\arctan(x) quand xto+inftyx \\to +\\infty ?
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