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Qu’eˊnonce le theˊoreˋme de la limitepar encadrement (ou theˊoreˋmedes gendarmes) ?\large\text{Qu'énonce le théorème de la limite} \\ \text{par encadrement (ou théorème} \\ \text{des gendarmes) ?}
Soit (un),(vn),(wn) trois suitesreˊelles. - Si (vn) et (wn) convergent versun meˆme reˊel l et si, aˋ partir d’uncertain rang vn≤un≤wn, alors(un) converge vers l.\large\text{Soit }(u_n), (v_n), (w_n)\text{ trois suites} \\ \text{réelles.} \\ \ \\ \text{- Si }(v_n) \text{ et }(w_n) \text{ convergent vers} \\ \text{un même réel }l \text{ et si, à partir d'un} \\ \text{certain rang } v_n \leq u_n \leq w_n, \text{ alors}\\ (u_n) \text{ converge vers }l.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme dela limite monotone ?\Large\text{Qu'énonce le théorème de} \\ \text{la limite monotone ?}
Toute suite monotone posseˋdeune limite. - Si cette suite monotone estborneˊe, alors elle converge.- Si elle est non borneˊe, alorselle tend vers ±∞\large\text{Toute suite monotone possède} \\ \text{une limite.} \\ \ \\ \text{- Si cette suite monotone est} \\ \text{bornée, alors } \text{elle converge.} \\ \text{- Si elle est non bornée, alors} \\ \text{elle tend vers }\pm \infty.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme surles suites adjacentes ?\Large\text{Qu'énonce le théorème sur} \\ \text{les suites adjacentes ?}
Si deux suites (un) et (vn) sontadjacentes, alors elles sontconvergentes et ont la meˆmelimite reˊelle.\large\text{Si deux suites }(u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont}\\ \text{adjacentes, alors elles sont} \\ \text{convergentes et ont la même} \\ \text{limite réelle.}
Qu’eˊnonce le theˊoreˋmede Bolzano-Weierstrass ?\Large\text{Qu'énonce le théorème}\\ \text{de Bolzano-Weierstrass ?}
De toute suite reˊelle borneˊe,on peut extraire une sous-suite convergente.\Large\text{De toute suite réelle bornée,}\\ \text{on peut extraire une sous-} \\ \text{suite convergente.}
Rappeler la proprieˊteˊ decaracteˊrisation seˊquentielle dela densiteˊ pour une partie A de R\large\text{Rappeler la propriété de} \\ \text{caractérisation séquentielle de} \\ \text{la densité pour une partie }A\text{ de }\mathbb{R}.
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Rappeler la proprieˊteˊ decaracteˊrisation seˊquentiellede la borne sup pour unepartie A de R et un reˊel x\Large\text{Rappeler la propriété de} \\ \text{caractérisation séquentielle} \\ \text{de la borne sup pour une} \\ \text{partie } A \text{ de }\mathbb{R}\text{ et un réel }x.
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Qu’eˊnonce le theˊoreˋme dupoint fixe pour les suites ?\Large\text{Qu'énonce le théorème du} \\ \text{point fixe pour les suites ?}
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Meˊthode :Comment eˊtudie-t-on unesuite reˊcurrente (un) de type : un+1=f(un) ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \Large\text{Comment étudie-t-on une} \\ \text{suite récurrente }(u_n) \text{ de type :} \\ \ \\ \LARGE u_{n+1} = f(u_n) \text{ ?}
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Meˊthode :Comment deˊtermine-t-on leterme geˊneˊral d’une suitearithmeˊtico-geˊomeˊtrique : un+1=aun+b ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \Large\text{Comment détermine-t-on le} \\ \text{terme général d'une suite} \\ \text{arithmético-géométrique :} \\ \ \\ \LARGE u_{n+1} = au_n + b \text{ ?}
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Qu'énonce le théorème de la limite monotone pour une suite croissante majorée ?
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Que se passe-t-il pour une suite croissante non majorée ?
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Qu'énonce le corollaire du théorème de la limite monotone pour une suite décroissante minorée ?
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Que se passe-t-il pour une suite décroissante non minorée ?
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Quelle est la définition de suites adjacentes ?
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Qu'énonce le théorème des suites adjacentes ?
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Quelle est la propriété des suites adjacentes uu (croissante) et vv (décroissante) ?
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Si ell\\ell est la limite commune de deux suites adjacentes uu (croissante) et vv (décroissante), que peut-on dire ?
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Qu'énonce le théorème de Bolzano-Weierstrass ?
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Quelle est la propriété de la suite sin(n)\\sin(n) selon le théorème de Bolzano-Weierstrass ?
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Comment définit-on la convergence d'une suite complexe unu_n vers lambda\\lambda ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite complexe converge ?
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Si une suite complexe unu_n converge vers lambda\\lambda, que peut-on dire de ∣un∣|u_n| ?
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Quelle est une conséquence importante de la convergence d'une suite complexe ?
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Si unu_n converge vers lambda\\lambda, que peut-on dire de la suite des conjugués overlineun\\overline{u_n} ?
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Qu'est-ce qu'une suite extraite (ou sous-suite) d'une suite complexe ?
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Que dit le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites complexes ?
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Si untolambdau_n \\to \\lambda et vntomuv_n \\to \\mu, que peut-on dire de un+vnu_n + v_n ?
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Si untolambdau_n \\to \\lambda et vntomuv_n \\to \\mu, que peut-on dire de unvnu_n v_n ?
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Si untolambdaneq0u_n \\to \\lambda \\neq 0, que peut-on dire de frac1un\\frac{1}{u_n} ?
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Quelle propriété des suites réelles ne s'applique pas aux suites complexes ?
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Comment prouver qu'une suite croissante est convergente sans connaître sa limite ?
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Si une suite croissante (un)(u_n) converge vers ell\\ell, que peut-on dire sur la relation entre unu_n et ell\\ell ?
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Comment utiliser le théorème de la limite monotone pour étudier une suite décroissante ?
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Quelle est la stratégie pour prouver qu'une suite du type prodk=1n(1−frac12k)\\prod_{k=1}^n (1-\\frac{1}{2^k}) est convergente ?
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Comment montrer que deux suites sont adjacentes sans connaître leur limite ?
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Si uu et vv sont adjacentes avec uu croissante et vv décroissante, que peut-on dire sur leur limite commune ell\\ell ?
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Comment utiliser le théorème des suites adjacentes pour étudier la convergence de sump=0inftyfrac1p!\\sum_{p=0}^{\\infty} \\frac{1}{p!} ?
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Quelle est l'utilité pratique du théorème de Bolzano-Weierstrass pour une suite bornée oscillante ?
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Comment le théorème de Bolzano-Weierstrass peut-il être utilisé pour étudier la suite sin(n)\\sin(n) ?
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Quelle est la stratégie générale pour appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass dans une démonstration ?
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Montrez que la suite un=(1+frac12n)+(2+frac1n)iu_n = (1+\\frac{1}{2^n}) + (2+\\frac{1}{n})i est convergente.
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Pourquoi la suite un=1+niu_n = 1 + ni ne converge pas ?
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Donnez un exemple de suite complexe bornée mais non convergente.
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Pour qinmathbbCq \\in \\mathbb{C} avec ∣q∣<1|q| < 1, vers quoi converge la suite qnq^n ?
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Prouvez que la suite un=exp(nifracpi2)u_n = \\exp(n i \\frac{\\pi}{2}) ne converge pas.
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Si untolambdau_n \\to \\lambda, que peut-on dire de la convergence de ∣un∣|u_n| ?
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Donnez un exemple de suite complexe non bornée.
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Si untolambdau_n \\to \\lambda, que peut-on dire de la convergence de overlineun\\overline{u_n} ?
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Pour qinmathbbCq \\in \\mathbb{C} avec ∣q∣>1|q| > 1, que peut-on dire de la suite qnq^n ?
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Soit qneq1q \\neq 1 un nombre complexe de module 1. Que dire de la convergence de qnq^n ?
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Si untolambdaneq0u_n \\to \\lambda \\neq 0, que peut-on dire de la convergence de frac1un\\frac{1}{u_n} ?
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Donnez un exemple de suite complexe où ∣un∣|u_n| converge mais unu_n ne converge pas.
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