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Par quelles opeˊrations lacontinuiteˊ sur un segmenten un point est-elle stable ?\large\text{Par quelles opérations la} \\ \text{continuité sur un segment} \\ \text{en un point est-elle stable ?}
La continuiteˊ (sur un segment)en un point est stable parcombinaison lineˊaire, produit,quotient et composition.\large\text{La continuité (sur un segment)} \\ \text{en un point est stable par} \\ \text{combinaison linéaire, produit,} \\ \text{quotient et composition.}
Qu’eˊnonce le theˊoreˋmedes valeurs intermeˊdiaires ?\Large\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{des valeurs intermédiaires ?}
Si f est une fonction continuesur un intervalle I de R et aˋvaleurs reˊelles, alors f(I) estun intervalle de R\large\text{Si }f \text{ est une fonction continue} \\ \text{sur un intervalle }I \text{ de }\mathbb{R} \text{ et à} \\ \text{valeurs réelles, alors }f(I)\text{ est} \\ \text{un intervalle de }\mathbb{R}.
Qu’eˊnonce le corollaire dutheˊoreˋme des valeursintermeˊdiaires sur les fonctionscontinues strictement monotonessur un intervalle ?\large\text{Qu'énonce le corollaire du} \\\text{théorème des valeurs} \\ \text{intermédiaires sur les fonctions} \\ \text{continues strictement monotones} \\ \text{sur un intervalle ?}
Soit f une fonction continue,strictement monotone surl’intervalle [a,b].Soit y un reˊel compris entref(a) et f(b).Il existe un unique pointc∈[a,b] tel que f(c)=y\large\text{Soit }f\text{ une fonction continue,} \\ \text{strictement monotone sur} \\ \text{l'intervalle }[a,b].\\ \text{Soit }y \text{ un réel compris entre}\\ f(a)\text{ et }f(b). \\ \text{Il existe un unique point}\\ c \in [a,b] \text{ tel que }f(c) = y
Qu’eˊnonce le theˊoreˋmede la bijection ?\LARGE\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{de la bijection ?}
Toute fonction reˊelle strictementmonotone, deˊfinie et continue surun intervalle, admet une fonctionreˊciproque de meˆme monotonie,deˊfinie et continue sur unintervalle.\large\text{Toute fonction réelle strictement} \\ \text{monotone, définie et continue sur} \\ \text{un intervalle, admet une fonction} \\ \text{réciproque de même monotonie,} \\ \text{définie et continue sur un} \\ \text{intervalle.}
Qu’eˊnonce le theˊoreˋmedes bornes atteintes ?\Large\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{des bornes atteintes ?}
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Meˊthode :Comment montre-t-on l’existenced’une solution de l’eˊquation de laforme f(x)=0 ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment montre-t-on l'existence} \\ \text{d'une solution de l'équation de la} \\ \text{forme }f(x) = 0 \text{ ?}
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Meˊthode :Comment montre-t-onqu’une fonction f:I↦J est une bijection ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Comment montre-t-on} \\ \text{qu'une fonction}\\ \ \\f : I \mapsto J\text{ est une bijection ?}
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Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onutiliser pour reˊsoudre uneeˊquation fonctionnelle ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{utiliser pour résoudre une} \\ \text{équation fonctionnelle ?}
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Qu'est-ce que C(I,R)C(I, R) ?
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Qu'est-ce qu'une fonction K-lipschitzienne ?
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Énoncez le théorème des valeurs intermédiaires
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Quelle est l'image d'un intervalle par une fonction continue ?
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Énoncez le théorème des bornes atteintes
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Que dit le théorème de la bijection pour une fonction continue strictement monotone ?
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Qu'est-ce qu'une fonction uniformément continue ?
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Quelle est la relation entre fonction lipschitzienne et uniformément continue ?
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Donnez un exemple de fonction continue mais non uniformément continue sur R+R_+
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Qu'est-ce que le théorème de Heine ?
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Qu'est-ce qu'une fonction de classe mathcalC1\\mathcal{C}^1 ?
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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions de classe mathcalC1\\mathcal{C}^1 sur I à valeurs réelles ?
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Qu'est-ce qu'une fonction de classe mathcalCn\\mathcal{C}^n ?
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Qu'est-ce qu'une fonction de classe \\mathcal{C}^\\infty ?
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Comment note-t-on la dérivée n-ième d'une fonction f ?
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Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit ?
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Sous quelles conditions la composée de deux fonctions de classe mathcalCn\\mathcal{C}^n est-elle de classe mathcalCn\\mathcal{C}^n ?
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Sous quelles conditions l'inverse d'une fonction de classe mathcalCn\\mathcal{C}^n est-elle de classe mathcalCn\\mathcal{C}^n ?
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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction exponentielle ?
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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction sinus ?
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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction xpx^p pour pinmathbbNp \\in \\mathbb{N} ?
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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction 1/x1/x ?
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Comment démontrer que la fonction f(x)=x2sin(1/x)f(x) = x^2 \\sin(1/x) n'a pas de limite en 0 ?
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Comment prouver que limxto0fracsinxx=1\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1 ?
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Comment montrer que limxto+inftyfracx2+12x2−x+3=frac12\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x^2+1}{2x^2-x+3} = \\frac{1}{2} ?
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Quelle méthode utiliser pour étudier la limite de f(x)=xsinxf(x) = x^{\\sin x} quand xto0+x \\to 0^+ ?
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Comment prouver que ex>1+xe^x > 1 + x pour tout x>0x > 0 ?
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Comment montrer que la fonction f(x)=frac1xf(x) = \\frac{1}{x} n'admet pas de prolongement continu en 0 ?
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Quelle technique utiliser pour étudier la continuité de f(x)=sqrtxsin(frac1x)f(x) = \\sqrt{x} \\sin(\\frac{1}{x}) en 0 ?
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Comment prouver que limxto+infty(sqrtx2+x−x)=frac12\\lim_{x \\to +\\infty} (\\sqrt{x^2+x} - x) = \\frac{1}{2} ?
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Quelle méthode employer pour étudier la limite de f(x)=(1+frac1x)xf(x) = (1+\\frac{1}{x})^x quand xto+inftyx \\to +\\infty ?
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Comment démontrer que limxto0fracln(1+x)x=1\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1+x)}{x} = 1 ?
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Soit f continue sur [a,b]. Que peut-on dire si f(a)f(b) ≤ 0 ?
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Comment montrer qu'une fonction réelle est bornée sans étudier ses variations ?
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Soit f continue sur R avec des limites finies en ±∞. Que peut-on dire sur f ?
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Soit f continue et strictement monotone sur I. Que peut-on dire de f(I) ?
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Comment montrer qu'une fonction atteint sa borne supérieure ?
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Soit f continue sur [a,b] et strictement positive. Que peut-on dire de f ?
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Quelle condition supplémentaire faut-il à une fonction lipschitzienne pour être continue ?
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Soit f continue sur I. Dans quel cas f est-elle nécessairement constante ?
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Soit f continue sur [a,b]. Peut-on affirmer que f([a,b]) est fermé ?
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Soit f continue sur R. Que peut-on dire si f n'est pas bornée ?
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Comment montrer qu'une équation f(x) = g(x) a une solution ?
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Soit f continue sur [a,b]. Que peut-on dire si f(a) < 0 < f(b) ?
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Soit f lipschitzienne sur I. Que peut-on dire de sa continuité uniforme ?
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Montrez que la fonction f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x est de classe CinftyC^{\\infty} sur mathbbR\\mathbb{R}.
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Calculez la dérivée n-ième de f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x.
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Montrez que la fonction f(x)=xalphaf(x) = x^{\\alpha} est de classe CinftyC^{\\infty} sur mathbbR+∗\\mathbb{R}_{+}^* pour tout alphainmathbbR\\alpha \\in \\mathbb{R}.
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Prouvez que la fonction Arctan est de classe CinftyC^{\\infty} sur mathbbR\\mathbb{R}.
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Démontrez que la fonction f(x)=sqrt[3]xf(x) = \\sqrt[3]{x} est de classe CinftyC^{\\infty} sur mathbbR∗\\mathbb{R}^*.
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Prouvez que la fonction f(x)=exp(−1/x)f(x) = \\exp(-1/x) si x>0x > 0, f(0)=0f(0) = 0 est de classe CinftyC^{\\infty} sur mathbbR+\\mathbb{R}_+.
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Soit ff de classe CnC^n sur [a,b][a,b]. Que peut-on dire de f′f' ?
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Comment caractériser une fonction MM-lipschitzienne de classe C1C^1 sur [a,b][a,b] ?
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Montrez que la fonction f(x)=xalphaf(x) = x^{\\alpha} est de classe C1C^1 sur mathbbR+\\mathbb{R}_+ si et seulement si alphageq1\\alpha \\geq 1.
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Donnez une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction ff de classe C1C^1 sur II soit bijective de II sur JJ.
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