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Rappeler la deˊfinition de fest deˊrivable en un point x0\Large\text{Rappeler la définition de }f\\ \text{est dérivable en un point }x_0
f est deˊrivable en un point x0si la fonction g:Df\{x0}↦R deˊfinie par g(x)=f(x)−f(x0)x−x0admet une limite finie en x0\large f\text{ est dérivable en un point }x_0\\ \text{si la fonction }g:D_f\backslash\{x_0\}\mapsto\mathbb{R}\\ \ \\ \text{définie par }g(x)=\Large\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\\ \large\text{admet une limite finie en }x_0.
Rappeler la caracteˊrisation dede deˊrivabiliteˊ aˋ l’aide d’undeˊveloppement limiteˊ.\large\text{Rappeler la caractérisation de} \\ \text{de dérivabilité à l'aide d'un} \\ \text{développement limité.}
f est deˊrivable en un point x0⇔ elle admet un deˊveloppementlimiteˊ aˋ l’ordre 1 en x0. Et alors : f(x+x0)=f(x)+f′(x0)h+ϵ(h)houˋ ϵ(h)undefinedh→00\large f \text{ est dérivable en un point }x_0 \Leftrightarrow \\ \ \\\text{elle admet un développement} \\ \text{limité à l'ordre 1 en }x_0 \text{. Et alors :} \\ \ \\ f(x + x_0) = f(x) + f'(x_0)h + \epsilon(h)h \\ \text{où } \epsilon(h)\xrightarrow[h\to 0]{} 0.
Par quelles opeˊrations ladeˊrivabiliteˊ est-elle stable ? Meˆme question pour lesfonctions de classe Ck.\large\text{Par quelles opérations la} \\ \text{dérivabilité est-elle stable ?} \\ \ \\ \text{Même question pour les} \\ \text{fonctions de classe }C^k.
La deˊrivabiliteˊ est stable parcombinaison lineˊaire, produit,quotient, composition etreˊciproque. De meˆme pour les fonctionsde classe Ck\large\text{La dérivabilité est stable par}\\ \text{combinaison linéaire, produit,} \\ \text{quotient, composition et}\\ \text{réciproque.}\\ \ \\ \text{De même pour les fonctions} \\ \text{de classe }C^k.
Rappeler la formule de Leibnizsur la deˊriveˊe n-ieˋme d’unproduit de fonctions deˊrivables.\large\text{Rappeler la formule de Leibniz} \\ \text{sur la dérivée n-ième d'un} \\ \text{produit de fonctions dérivables.}
Soit f,g deux fonctionsn fois deˊrivables. (fg)(n)=∑i=0n(nk)f(i)g(n−i)\large\text{Soit }f, g \text{ deux fonctions}\\ n\text{ fois dérivables.} \\ \ \\ \Large (fg)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(i)}g^{(n-i)}
Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour calculer ladeˊriveˊe n-ieˋme d’une fonction f ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{appliquer pour calculer la} \\ \text{dérivée n-ième d'une fonction }f \text{ ?}
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Meˊthode :Que faire pour reˊsoudre uneeˊquation fonctionnelle danslaquelle la fonction inconnueest deˊrivable ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Que faire pour résoudre une} \\ \text{équation fonctionnelle dans} \\ \text{laquelle la fonction inconnue} \\ \text{est dérivable ?}
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Qu’est-ce qu’un pointcritique d’une fonction fde classe C1 ?\Large\text{Qu'est-ce qu'un point} \\ \text{critique d'une fonction }f \\ \text{de classe }C^1\text{ ?}
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Quelle est une conditionneˊcessaire pour que le point asoit un extremum local de lafonction deˊrivable ?\large\text{Quelle est une condition} \\ \text{nécessaire pour que le point }a \\ \text{soit un extremum local de la}\\ \text{fonction dérivable ?}
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Meˊthode :Comment deˊtermine-t-on laborne infeˊrieure (ou supeˊrieure)d’une fonction deˊrivable ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment détermine-t-on la} \\ \text{borne inférieure (ou supérieure)} \\ \text{d'une fonction dérivable ?}
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Qu'est-ce qu'un maximum local pour une fonction f?
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Qu'est-ce qu'un point critique d'une fonction?
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Énoncez le théorème de Rolle
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Énoncez le théorème des accroissements finis
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit croissante?
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Quelle est la condition pour qu'une fonction dérivable soit constante sur un intervalle?
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Énoncez l'inégalité des accroissements finis
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Qu'est-ce qu'une fonction M-lipschitzienne?
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Énoncez la condition de convergence pour une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
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Que dit le théorème de la limite de la dérivée?
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Comment démontrer que ln(1+x)leqx\\ln(1+x) \\leq x pour tout x>−1x > -1 ?
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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer que ∣sin(x)∣leq∣x∣|\\sin(x)| \\leq |x| pour tout xinmathbbRx \\in \\mathbb{R} ?
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Comment prouver la convergence d'une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) vers un point fixe cc de ff ?
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Comment déterminer si la fonction f(x)=x3sin(1/x)f(x) = x^3 \\sin(1/x) pour xneq0x \\neq 0 et f(0)=0f(0) = 0 est dérivable en 0 ?
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Comment prouver que sqrtx−ln(1+x)\\sqrt{x} - \\ln(1+x) admet un minimum sur mathbbR+∗\\mathbb{R}_+^* ?
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Comment utiliser le théorème de Rolle pour montrer qu'une équation de la forme ax3+bx+c=0ax^3 + bx + c = 0 a au plus trois solutions réelles ?
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Comment prouver que la fonction f(x)=xexf(x) = x e^x est bijective sur mathbbR\\mathbb{R} ?
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Comment utiliser le théorème des accroissements finis pour estimer ∣sqrt2−frac107∣|\\sqrt{2} - \\frac{10}{7}| ?
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Comment prouver que arcsin(x)+arccos(x)=fracpi2\\arcsin(x) + \\arccos(x) = \\frac{\\pi}{2} pour tout xin[−1,1]x \\in [-1,1] en utilisant la dérivation ?
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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer que ∣ex−1∣leq∣x∣e∣x∣|e^x - 1| \\leq |x|e^{|x|} pour tout xinmathbbRx \\in \\mathbb{R} ?
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