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Rappeler la deˊfinition de laconvexiteˊ pour une fonctionf reˊelle.\Large\text{Rappeler la définition de la} \\ \text{convexité pour une fonction}\\ f \text{ réelle.}
f est convexe sur l’intervalle I⟺∀(x,y)∈I2,  ∀λ∈[0,1],f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y).\large f \text{ est convexe sur l'intervalle }I \\ \Longleftrightarrow \normalsize \forall (x,y)\in I^2,\; \forall \lambda \in [0,1], \\ f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y).
Qu’eˊnonce l’ineˊgaliteˊde Jensen ?\Large\text{Qu'énonce l'inégalité} \\ \text{de Jensen ?}
∀(λ1,...,λn)∈[0,1]n telle que∑i=1nλi=1 et∀(x1,...,xn)∈In,on a : f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi)\large \forall (\lambda_1,...,\lambda_n) \in [0,1]^n \text{ telle que}\\ \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \text{ et} \\ \forall (x_1,...,x_n) \in I^n, \\ \text{on a :} \\ \ \\ f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)
Rappeler la caracteˊrisation dela convexiteˊ aˋ l’aide des pentes.\large\text{Rappeler la caractérisation de} \\ \text{la convexité à l'aide des pentes.}
Les deux proprieˊteˊs suivantescaracteˊrisent la convexiteˊ d’unefonction f sur l’intervalle I : \large\text{Les deux propriétés suivantes}\\ \text{caractérisent la convexité d'une}\\ \text{fonction }f\text{ sur l'intervalle }I\text{ :}\\ \ \\ - Pour tout x0∈I, la fonctiong:x↦f(x)−f(x0)x−x0 est croissantesur I\{x0}\large\text{- Pour tout }x_0 \in I,\text{ la fonction}\\ g:x\mapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{ est croissante}\\ \text{sur }I\backslash\{x_0\}\\ - Pour tout x0,x1,x2∈I, on af(x1)−f(x0)x1−x0≤f(x2)−f(x0)x2−x0≤f(x2)−f(x1)x2−x1(voir aˋ l’aide d’un scheˊma).\large\text{- Pour tout }x_0,x_1,x_2\in I,\text{ on a}\\ \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\leq\frac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0}\leq\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\scriptsize\\ \text{(voir à l'aide d'un schéma)}.
Quelle est la position relative dela courbe d’une fonction convexepar rapport aˋ ses tangentes ?\large\text{Quelle est la position relative de} \\ \text{la courbe d'une fonction convexe} \\ \text{par rapport à ses tangentes ?}
La courbe d’une fonctionconvexe se situe au-dessusde ses tangentes.\Large\text{La courbe d'une fonction} \\ \text{convexe se situe au-dessus} \\ \text{de ses tangentes.}
Rappeler la caracteˊrisationde la convexiteˊ pour lesfonctions deˊrivables.\large\text{Rappeler la caractérisation} \\ \text{de la convexité pour les} \\ \text{fonctions dérivables.}
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Rappeler la caracteˊrisation dela convexiteˊ pour les fonctionsdeux fois deˊrivables.\large\text{Rappeler la caractérisation de} \\ \text{la convexité pour les fonctions} \\ \text{deux fois dérivables.}
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Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour montrer qu’unefonction f est convexe ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{appliquer pour montrer qu'une} \\ \text{fonction }f\text{ est convexe ?}
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Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour montrer qu’unefonction f est concave ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{appliquer pour montrer qu'une} \\ \text{fonction }f\text{ est concave ?}
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Meˊthode :Comment proceˊder pourdeˊmontrer une proprieˊteˊveˊrifieˊe par une fonction fconvexe (resp. concave) ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment procéder pour} \\ \text{démontrer une propriété} \\ \text{vérifiée par une fonction }f\\ \text{convexe (resp. concave) ?}
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Qu'est-ce qu'une fonction dérivable à valeurs complexes ?
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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions dérivables sur I à valeurs complexes ?
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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions de classe mathcalC1\\mathcal{C}^1 à valeurs complexes ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une somme de fonctions complexes ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un produit de fonctions complexes ?
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Comment se comporte la dérivation par rapport à la conjugaison ?
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Comment exprimer la dérivée d'une fonction complexe en termes de ses parties réelle et imaginaire ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une puissance entière d'une fonction complexe ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une composition de fonctions fcircvarphif \\circ \\varphi où ff est à valeurs complexes et varphi\\varphi à valeurs réelles ?
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Le théorème de Rolle est-il valable pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Quelle est la caractérisation des fonctions constantes à valeurs complexes ?
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Que dit l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Quelle est la définition d'une fonction convexe sur un intervalle I ?
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Quelle est l'interprétation graphique de la convexité d'une fonction ?
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Que dit l'inégalité de Jensen pour une fonction convexe f ?
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Comment caractériser la convexité d'une fonction f par les pentes ?
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Quelle est la caractérisation de la convexité par la fonction taua(x)\\tau_a(x) ?
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Quelle propriété de régularité possède une fonction convexe sur un intervalle ouvert ?
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Que peut-on dire des dérivées à droite et à gauche d'une fonction convexe en un point intérieur a ?
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La somme de deux fonctions convexes est-elle toujours convexe ?
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Le produit de deux fonctions convexes est-il toujours convexe ?
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Une fonction convexe sur un intervalle fermé est-elle nécessairement continue sur cet intervalle ?
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Comment montrer qu'une fonction à valeurs complexes n'est pas dérivable en utilisant ses parties réelle et imaginaire ?
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Quelle est la différence principale entre la dérivabilité des fonctions réelles et complexes ?
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Comment adapter la règle de dérivation en chaîne pour une composition fcircvarphif \\circ \\varphi où ff est à valeurs complexes et varphi\\varphi à valeurs réelles ?
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Pourquoi l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions complexes nécessite-t-elle la continuité de la dérivée ?
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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour estimer la distance maximale parcourue par un objet en mouvement ?
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Quelle est la conséquence de la non-validité du théorème de Rolle pour les fonctions complexes ?
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Comment prouver qu'une fonction à valeurs complexes est constante sur un intervalle ?
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Quelle précaution faut-il prendre lors de l'application de la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions complexes ?
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Comment généraliser la formule de dérivation des puissances pour une fonction complexe non nulle et un exposant négatif ?
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Quelle est l'importance de la proposition liant la dérivabilité de ff à celle de operatornameRef\\operatorname{Re}f et operatornameImf\\operatorname{Im}f ?
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Montrez que la fonction f(x)=∣x∣f(x) = |x| est convexe sans utiliser la définition de convexité.
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Soit ff une fonction convexe sur [a,b][a,b]. Que peut-on dire de f(raca+b2)f(rac{a+b}{2}) ?
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Si ff et gg sont convexes sur II, que peut-on dire de h=max(f,g)h = \\max(f,g) ?
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Donnez un exemple de fonction convexe qui n'est pas dérivable en tout point.
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Si ff est convexe sur II, que peut-on dire de −f-f ?
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Comment peut-on utiliser l'inégalité de Jensen pour prouver l'inégalité arithmético-géométrique ?
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Soit ff convexe sur II. Que peut-on dire de f(tx+(1−t)y)f(tx + (1-t)y) pour tin[0,1]t \\in [0,1] et x,yinIx,y \\in I ?
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Comment prouver que la fonction f(x)=exf(x) = e^x est convexe sur mathbbR\\mathbb{R} sans utiliser la dérivée seconde ?
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Si ff est convexe sur II, que peut-on dire de ses points d'inflexion ?
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Soit ff convexe sur [a,b][a,b]. Comparez rac1b−aintabf(x)dxrac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx et f(raca+b2)f(rac{a+b}{2}).
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