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Qu'est-ce qu'un groupe ?
Un ensemble G muni d'une loi * associative, avec un élément neutre et où tout élément possède un symétrique.
Qu'est-ce qu'un groupe commutatif ?
Un groupe dont la loi est commutative.
Donnez un exemple de groupe commutatif.
(mathbbR,+\\mathbb{R},+), (mathbbR∗,times\\mathbb{R}^*,\\times), (mathbbC,+\\mathbb{C},+), (mathbbC∗,times\\mathbb{C}^*,\\times)
Qu'est-ce qu'un sous-groupe ?
Une partie H d'un groupe G stable par la loi et le passage au symétrique, contenant le neutre de G.
Qu'est-ce qu'un morphisme de groupes ?
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Qu'est-ce que le noyau d'un morphisme de groupes ?
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Qu'est-ce que l'image d'un morphisme de groupes ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un morphisme de groupes soit injectif ?
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Citez une propriété d'un morphisme de groupes f.
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Quelle est l'image réciproque de l'unité par la fonction exponentielle complexe ?
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Qu'est-ce que mathcalMn(mathbbK)\\mathcal{M}_{n}(\\mathbb{K}) ?
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Comment définit-on une matrice inversible ?
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Que représente mathcalGmathcalLn(mathbbK)\\mathcal{G}\\mathcal{L}_{n}(\\mathbb{K}) ?
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Quelle est la définition d'une matrice diagonale ?
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Qu'est-ce qu'une matrice triangulaire supérieure ?
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Qu'est-ce qu'une matrice triangulaire inférieure ?
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Quelle est la définition d'une matrice symétrique ?
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Quelle est la définition d'une matrice antisymétrique ?
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Comment calcule-t-on l'inverse d'un produit de matrices inversibles ?
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Quelle est la condition d'inversibilité d'une matrice triangulaire ?
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Comment les opérations élémentaires affectent-elles l'inversibilité d'une matrice ?
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Quelle est la relation entre l'inverse et la transposée d'une matrice inversible ?
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Qu'est-ce qu'une matrice nilpotente ?
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Qu'est-ce qu'un PGCD de deux polynômes A et B ?
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Comment caractériser le PGCD D de deux polynômes A et B ?
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Qu'est-ce qu'un couple de coefficients de Bézout pour deux polynômes A et B ?
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Quand deux polynômes A et B sont-ils premiers entre eux ?
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Quelle est l'identité de Bézout pour les polynômes ?
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Qu'est-ce qu'un PPCM de deux polynômes non nuls A et B ?
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Comment caractériser le PPCM M de deux polynômes non nuls A et B ?
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Qu'est-ce qu'un polynôme irréductible dans mathbbK[X]\\mathbb{K}[X] ?
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Quels sont les polynômes irréductibles dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] ?
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Quels sont les polynômes irréductibles dans mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] ?
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Comment se décompose tout polynôme non nul de mathbbK[X]\\mathbb{K}[X] ?
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Que dit le lemme de Gauss pour les polynômes ?
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Donnez un exemple de groupe qui n'est pas commutatif.
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Comment prouver qu'une partie H d'un groupe G est un sous-groupe ?
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Quelle est la méthode la plus efficace pour montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe ?
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Donnez un exemple d'isomorphisme entre deux groupes de lois différentes.
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Comment vérifier rapidement qu'un morphisme de groupes f est injectif ?
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Quelle propriété permet de prouver que mathbbUn\\mathbb{U}_n (racines n-ièmes de l'unité) est un sous-groupe de (mathbbC∗,times)(\\mathbb{C}^*, \\times) ?
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Comment démontrer que l'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe ?
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Quelle application permet de décomposer mathbbC∗\\mathbb{C}^* en produit de deux sous-groupes ?
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Comment exprimer le noyau de l'application exponentielle complexe ?
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Quelle propriété du déterminant découle du fait qu'il est un morphisme de groupes ?
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Comment transformer une matrice A en matrice triangulaire pour vérifier son inversibilité ?
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Quelle est la condition d'inversibilité d'une matrice triangulaire ?
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Comment calculer l'inverse d'une matrice A par opérations élémentaires ?
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Pourquoi l'ordre des opérations élémentaires est-il important lors du calcul de l'inverse ?
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Comment vérifier si une matrice A est nilpotente ?
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Quelle est la particularité de l'inverse d'une matrice triangulaire inversible ?
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Comment prouver qu'une matrice A n'est pas inversible sans calculer son déterminant ?
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Quelle méthode utiliser pour inverser efficacement une matrice avec beaucoup de coefficients nuls ?
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Comment simplifier le calcul de (Ak)−1(A^k)^{-1} pour A inversible et k entier ?
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Quelle propriété permet de simplifier le calcul de l'inverse d'un produit de matrices ?
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Comment déterminer si deux polynômes A et B sont premiers entre eux dans C[X] ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme de R[X] de degré 2 soit irréductible ?
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Comment trouver des coefficients de Bézout pour deux polynômes ?
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Que peut-on dire sur les racines d'un polynôme P si P et P' sont premiers entre eux ?
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Comment vérifier si trois polynômes A, B, C sont premiers entre eux dans leur ensemble ?
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Quelle est la relation entre A, B, A∧B et A∨B pour des polynômes non nuls A et B ?
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Comment utiliser le lemme de Gauss pour simplifier une fraction rationnelle ?
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Que peut-on dire sur le degré du PPCM de deux polynômes A et B premiers entre eux ?
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Comment factoriser efficacement un polynôme de R[X] en utilisant ses racines complexes ?
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Quelle est la particularité des coefficients de Bézout d'un polynôme P et de sa dérivée P' ?
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Comment utiliser le PGCD pour trouver les racines communes à deux polynômes ?
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Quelle propriété permet de tester si un polynôme est irréductible dans C[X] sans calculer ses racines ?
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