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Qu'est-ce que la divisibilité dans

\\mathbb{K}[X]

?

On dit que B divise A ou que A est multiple de B, noté

B|A

, s'il existe

C \\in \\mathbb{K}[X]

tel que

A=BC

.

Quelle est la condition sur les degrés si B divise A et A est non nul ?

\\deg A \\geq \\deg B

Quand deux polynômes sont-ils dits associés ?

Quand ils se divisent mutuellement, ou quand il existe

\\lambda \\in \\mathbb{K}^*

tel que

A=\\lambda B

.

Qu'est-ce que la division euclidienne dans

\\mathbb{K}[X]

?

Pour A et B (B≠0) dans

\\mathbb{K}[X]

, il existe un unique couple (Q,R) tel que

A=BQ+R

avec

\\deg R < \\deg B

.

Quelle est la condition pour que B divise A selon la division euclidienne ?

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Comment s'effectue l'algorithme de division euclidienne des polynômes ?

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Quelle est la propriété de la division euclidienne entre

\\mathbb{R}[X]

et

\\mathbb{C}[X]

?

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Que signifie

D|A

et

D|B

implique

D|PA+QB

?

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Quelles sont les propriétés de la relation de divisibilité dans

\\mathbb{K}[X]

?

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Comment choisit-on le premier monôme du quotient dans la division euclidienne ?

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Qu'est-ce qu'une fonction polynomiale ?

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Qu'est-ce qu'une racine d'un polynôme ?

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Quel est le lien entre une racine

α

et la divisibilité d'un polynôme

A

?

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Combien de racines distinctes peut avoir au maximum un polynôme de degré

n

?

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Qu'est-ce que l'ordre de multiplicité d'une racine ?

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Comment s'écrit un polynôme scindé sur

K

?

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Qu'est-ce que la formule d'interpolation de Lagrange ?

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Que dit le théorème d'interpolation de Lagrange ?

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Qu'est-ce qu'une racine simple d'un polynôme ?

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Que dit la formule de Viète pour la somme des racines d'un polynôme unitaire ?

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Que dit la formule de Viète pour le produit des racines d'un polynôme unitaire ?

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Comment définit-on les polynômes de Lagrange ?

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Comment déterminer si deux polynômes A et B sont associés ?

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Si A divise B et B divise A, que peut-on conclure sur A et B ?

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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme B divise un polynôme A ?

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Comment comparer les degrés de deux polynômes A et B si B divise A et A est non nul ?

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Si D divise A et B, que peut-on dire sur

PA + QB

où P et Q sont des polynômes ?

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Quelle est la particularité du quotient et du reste dans la division euclidienne de polynômes réels par rapport à la division sur les complexes ?

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Comment choisir le premier terme du quotient dans l'algorithme de division euclidienne des polynômes ?

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Quelle propriété de la division euclidienne permet de simplifier la recherche des racines d'un polynôme ?

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Comment utiliser la division euclidienne pour factoriser un polynôme A par

(X-a)

?

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Quelle est la relation entre le degré du quotient Q et les degrés de A et B dans une division euclidienne ?

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Comment montrer que deux polynômes A et B sont égaux en utilisant le corollaire 15 ?

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Soit P un polynôme de degré n avec n racines distinctes

alpha_1, ..., alpha_n

. Quelle est sa forme factorisée ?

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Comment déterminer l'unicité d'un polynôme vérifiant une propriété sur une infinité de points ?

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Quelle est la forme du polynôme d'interpolation de Lagrange pour une fonction f sur n points distincts ?

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Comment caractériser une racine simple d'un polynôme A ?

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Comment déterminer si un polynôme de degré n est scindé sur K ?

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Quelle est la relation entre le coefficient

a_{n-1}

et les racines d'un polynôme scindé de degré n ?

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Comment exprimer le produit des racines d'un polynôme scindé en fonction de ses coefficients ?

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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément

alpha

soit racine d'ordre p d'un polynôme A ?

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Comment utiliser les formules de Viète pour un polynôme quadratique

aX^2 + bX + c

?

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