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MPSI/PCSI
Quelle est l’expression de lasolution geˊneˊrale de l’eˊquationdiffeˊrentielle lineˊaire d’ordre 1,normaliseˊe, sans second membre y′+ay=0 ?
y:x↦λexp(A(x)),λ∈R ouˋ A est une primitivede la fonction a.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme desuperposition pour les eˊquationsdiffeˊrentielles lineˊaires d’ordre 1 ?
Pour n=2.Soit f1,f2 des fonctions continuessur R. Soit λ1,λ2 des reˊels.
Si x1,x2 sont des solutions deseˊquations diffeˊrentielles(E1):y′+ay=f1(x)(E2):y′+ay=f2(x),alors λ1x1+λ2x2 est solution dey′+ay=λ1f1(x)+λ2f2(x).
Ce principe se geˊneˊralise aˋ n≥3 etaux EDL d’ordre 2.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme deCauchy sur les eˊquationsdiffeˊrentielles d’ordre 1 ?
Le probleˋme de Cauchy : (E):y′+a(x)y=b(x)et y(x0)=α(ouˋ a et b sont des fonctions) admet une unique solution.
Meˊthode :Comment reˊsout-on une eˊquationeˊquation diffeˊrentielle (E) d’ordre1 normaliseˊe avec secondmembre ?
- On reˊsout d’abord l’eˊquationhomogeˋne (sans second membre)associeˊe.- On cherche une solutionparticulieˋrede (E) La solution geˊneˊrale de (E) est lasomme d’une solution particulieˋrede (E) et de la solution geˊneˊrale del’eˊquation homogeˋne associeˊe.
Meˊthode :Quelles meˊthodes permettent detrouver une solution particulieˋred’une eˊquation diffeˊrentiellelineˊaire d’ordre 1 ?
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Meˊthode :Comment reˊsout-on une eˊquationdiffeˊrentielle lineˊaire d’ordre 1non normaliseˊe (E):ay′+by=c ?
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Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction f sur un intervalle I ?
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Comment s'énonce le théorème fondamental de l'analyse ?
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Quelle est la formule d'intégration par parties ?
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Quelle est la formule de changement de variable pour l'intégration ?
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Quelle est une primitive de la fonction ln sur mathbbR+∗ ?
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Quelle est une primitive de la fonction Arctan sur mathbbR ?
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Comment calculer une primitive de x2ex ?
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Quelle est la méthode générale pour trouver une primitive d'un produit polynôme-exponentielle ?
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Comment calculer int0pi/2sin2ucosudu ?
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Quelle est une primitive de sqrt1−x2 sur [-1,1] ?
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Calculez intx2exdx en utilisant deux intégrations par parties successives.
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Appliquez un changement de variable pour calculer int0pi/2sin2ucosudu.
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Trouvez une primitive de lnx sur mathbbR+∗ en utilisant une intégration par parties.
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Calculez int−12usqrt4−u2du en effectuant le changement de variable t=u2.
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Déterminez une primitive de Arctan(x) sur mathbbR en utilisant une intégration par parties.
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Appliquez un changement de variable pour calculer int0xsqrt1−t2dt avec xin[−1,1].
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Utilisez une intégration par parties pour trouver une primitive de xex.
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Calculez int01fracdxsqrt1−x2 en utilisant le changement de variable x=sint.
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Trouvez une primitive de frac11+x2 en utilisant le changement de variable x=tant.
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Appliquez deux intégrations par parties successives pour calculer intx2cosxdx.
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