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Qu'est-ce qu'un anneau ?
Un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×, où (A,+) est un groupe commutatif, A possède un élément neutre pour ×, et × est associative et distributive par rapport à +.
Comment note-t-on l'élément neutre pour + dans un anneau ?
0 ou 0A0_A
Comment note-t-on l'élément neutre pour × dans un anneau ?
1 ou 1A1_A
Quelle est la propriété de 0 dans un anneau ?
0 est absorbant : forallainA,0×a=a×0=0forall a in A, 0 × a = a × 0 = 0
Qu'est-ce qu'un anneau intègre ?
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Qu'est-ce qu'un sous-anneau ?
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Qu'est-ce qu'un morphisme d'anneaux ?
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Qu'est-ce qu'un élément inversible (ou unité) dans un anneau ?
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Qu'est-ce qu'un corps ?
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Quelle est la propriété principale d'un corps concernant le produit nul ?
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Qu'est-ce qu'un sous-corps ?
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Donnez la formule du binôme de Newton dans un anneau.
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Quelle est la formule de factorisation de an−bna^n - b^n dans un anneau ?
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Dans un anneau AA, si ab=0ab=0 et a≠0a \neq 0, peut-on conclure que b=0b=0 ?
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Soit ff un morphisme d'anneaux de AA dans BB. Si aa est inversible dans AA, que peut-on dire de f(a)f(a) dans BB ?
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Dans R2\mathbb{R}^2 muni de l'addition et la multiplication produit, trouvez deux éléments non nuls dont le produit est nul.
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Dans l'anneau M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), construisez deux matrices non nulles dont le produit est la matrice nulle.
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Soit AA un anneau commutatif. Montrez que si a2=aa^2 = a, alors a(1−a)=0a(1-a) = 0.
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Dans un corps K\mathbb{K}, si a+b=0a+b=0 et a≠0a \neq 0, que vaut bb ?
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Soit ff un morphisme d'anneaux de Z\mathbb{Z} dans un anneau AA. Montrez que ff est entièrement déterminé par f(1)f(1).
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Dans l'anneau R[X]\mathbb{R}[X] des polynômes à coefficients réels, trouvez deux polynômes non constants dont le produit est constant.
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Soit AA un anneau commutatif. Si a3=aa^3 = a pour tout a∈Aa \in A, montrez que 2a=02a = 0 pour tout a∈Aa \in A.
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Dans un corps K\mathbb{K}, si a2+b2=0a^2 + b^2 = 0, que peut-on conclure sur aa et bb ?
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