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Eˊnoncer les lois de De Morgan :non⁡(A et B)⟺?non⁡(A ou B)⟺?\large\text{Énoncer les lois de De Morgan :} \\ \LARGE \operatorname{non}(A ~ et ~ B) \Longleftrightarrow ? \\ \operatorname{non}(A ~ ou ~ B) \Longleftrightarrow ?
non⁡(A et B)⟺non⁡A ou non⁡B \LARGE \operatorname{non}(A ~et ~B) \Longleftrightarrow \\ \operatorname{non} A \text{ ou }\operatorname{non} B \\ \ \\ non⁡(A ou B)⟺non⁡A et non⁡B\LARGE\operatorname{non}(A ~ou~ B) \Longleftrightarrow \\ \operatorname{non} A \text{ et }\operatorname{non} B
Qu’est-ce que lacontraposeˊe d’uneimplication ?\LARGE\text{Qu'est-ce que la} \\ \text{contraposée d'une} \\ \text{implication ?}
non⁡(A⟹B)⟺A et non⁡B\huge \operatorname{non}(A \Longrightarrow B)\\ \Longleftrightarrow \\A \text{ et }\operatorname{non} B
non⁡(∀x∈E,P(x))⟺ ?\Large \operatorname{non}(\forall x \in E, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow \Large \text{ ?}
∃x∈E,non⁡P(x)\LARGE \exists x \in E, \operatorname{non} \mathcal{P}(x)
non⁡(∃x∈E,P(x))⟺ ?\Large\operatorname{non}(\exists x \in E, \mathcal{P}(x)) \Longleftrightarrow \text{ ?}
∀x∈E,non⁡P(x)\LARGE \forall x \in E, \operatorname{non} \mathcal{P}(x)
Meˊthode :Comment eˊcrire en termesde quantificateurs logiques,la proposition : "f n’est pasune fonction constante" ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Comment écrire en termes} \\ \text{de quantificateurs logiques,} \\ \text{la proposition : "f n'est pas} \\ \text{une fonction constante" ?}
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Meˊthode :\LARGE\text{Méthode :}\\ Comment deˊmontrer laproposition suivante : non⁡(A⟹B)⟺A et non⁡B ?\Large\text{Comment démontrer la} \\ \text{proposition suivante :}\\ \ \\ \operatorname{non}(A \Longrightarrow B) \Longleftrightarrow \\ A \text{ et } \operatorname{non} B \text{ ?}
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ? Que dire d’une fonction f:I↦R, ouˋ I est un intervalle,continue, et ne prenant qu’unnombre fini de valeurs ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment résoudre l'exercice} \\ \text{suivant ?} \\ \ \\ \text{Que dire d'une fonction }\\f : I \mapsto \mathbb{R} \text{, où }I \text{ est un intervalle,} \\ \text{continue, et ne prenant qu'un} \\ \text{nombre fini de valeurs ?}
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ?  Soit a∈R. Montrer que \LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment résoudre l'exercice} \\ \text{suivant ? }\\ \ \\ \text{Soit }a \in \mathbb{R}\text{. Montrer que }\\ ∀ε>0,∣a∣≤ε⟹a=0.\Large \forall \varepsilon>0,|a| \leq \varepsilon \Longrightarrow a=0 .
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ?Soit (un) une suite deˊfinie par\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre l'exercice}\\ \text{suivant ?}\\ \text{Soit }(u_n)\text{ une suite définie par}\\ u0=1 et un+1=2+un pourtout n∈N.\large u_0=1\text{ et }u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\text{ pour}\\ \text{tout }n\in\mathbb{N} \text{.} Deˊmontrer que, pour toutn∈N,0<un<2.\\ \large\text{Démontrer que, pour tout}\\ n\in\mathbb{N},0< u_n <2.
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ?Soit (un)n∈N la suite deˊfinie paru0=2,u1=3 et, pour tout n∈N,un+2=3un+1−2un.Deˊmontrer que, pour tout n∈N,un=1+2n.\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre l'exercice} \\ \text{suivant ?}\\ \text{Soit }\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\text{ la suite définie par}\\u_0=2,u_1=3\text{ et, pour tout }n \in \mathbb{N},\\ u_{n+2}=3 u_{n+1}-2 u_n.\\ \text{Démontrer que, pour tout }n \in \mathbb{N},\\ u_n=1+2^n.
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ?Soit (un)n∈N∗la suite deˊfinie paru1=3 et pour tout n≥1,un+1=2n∑k=1nuk.Deˊmontrer que ∀n∈N,un=3n  \LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre l'exercice}\\ \text{suivant ?}\\ \text{Soit }\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}^*}\text{la suite définie par}\\ u_1=3\text{ et pour tout }n\geq 1,\\ u_{n+1}=\frac{2}{n}\sum\limits_{k=1}^n u_k.\\ \text{Démontrer que } \forall n\in \N, u_n=3 n\;
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ? Deˊmontrer que, pour tout x∈R,∣x−1∣≤x2−x+1.\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre l'exercice} \\ \text{suivant ?} \\ \ \\ \text{Démontrer que, pour tout } x \in \mathbb{R},\\ |x-1| \leq x^2-x+1.
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Meˊthode :Comment reˊsoudre l’exercicesuivant ? Deˊterminer toutes les fonctionsf:R→R deˊrivables et tellesque, pour tout (x,y)∈R2,f(x+y)=f(x)+f(y).\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment résoudre l'exercice} \\ \text{suivant ?} \\ \ \\ \text{Déterminer toutes les fonctions} \\ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\text{ dérivables et telles} \\ \text{que, pour tout }(x, y) \in \mathbb{R}^2, \\ f(x+y)=f(x)+f(y) .
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Qu’est-ce que la neˊgationd’une implication ?\large\text{Qu'est-ce que la négation} \\ \text{d'une implication ?}
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Qu'est-ce qu'une assertion en mathématiques ?
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Que signifie la négation d'une assertion P, notée NON P ?
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Comment définit-on la conjonction de deux assertions P et Q ?
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Quelle est la définition de la disjonction de deux assertions P et Q ?
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Comment définit-on l'équivalence entre deux assertions P et Q ?
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Quelle est la définition de l'implication P Rightarrow\\Rightarrow Q ?
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Qu'est-ce que le principe du tiers exclu ?
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Comment définit-on la contraposée d'une implication P Rightarrow\\Rightarrow Q ?
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Qu'est-ce qu'un raisonnement par l'absurde ?
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En quoi consiste un raisonnement par analyse-synthèse ?
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Comment démontrer que deux assertions P et Q sont équivalentes ?
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Quelle est la différence entre 'P donc Q' et 'P implique Q' ?
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Que signifie le symbole forall\\forall ?
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Que signifie le symbole exists\\exists ?
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Comment note-t-on 'il existe un unique' ?
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Quelle est la négation de forallxinEquadP(x)\\forall x \\in E \\quad P(x) ?
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Quelle est la négation de existsxinEquadP(x)\\exists x \\in E \\quad P(x) ?
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Comment s'écrit l'équivalence (forallxinEquadP(x)textETQ(x))Leftrightarrow(forallxinEquadP(x))textET(forallxinEquadQ(x))(\\forall x \\in E \\quad P(x) \\text{ ET } Q(x)) \\Leftrightarrow (\\forall x \\in E \\quad P(x)) \\text{ ET } (\\forall x \\in E \\quad Q(x)) ?
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Quelle est l'équivalence pour (existsxinEquadP(x)textOUQ(x))(\\exists x \\in E \\quad P(x) \\text{ OU } Q(x)) ?
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Peut-on intervertir deux quantificateurs différents ?
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Comment s'écrit 'f possède un minimum' ?
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Comment s'écrit 'f ne possède pas de minimum' ?
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Qu'est-ce que la récurrence ?
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Quelle est la propriété fondamentale de mathbbN\\mathbb{N} utilisée en récurrence ?
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Quelles sont les trois étapes d'un raisonnement par récurrence ?
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Qu'est-ce que la récurrence à partir d'un certain rang ?
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Qu'est-ce que la récurrence double ?
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Comment initialise-t-on une récurrence double ?
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Qu'est-ce que la récurrence forte ?
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Qu'est-ce que la récurrence finie ?
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Qu'est-ce que la récurrence finie descendante ?
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Pourquoi est-il important de vérifier l'initialisation dans une récurrence ?
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Démontrez que si n2n^2 est pair, alors nn est pair en utilisant un raisonnement par contraposée.
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Montrez que l'assertion '(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1' est vraie pour tout réel xx en utilisant un raisonnement par équivalence.
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Prouvez que sqrt3\\sqrt{3} est irrationnel en utilisant un raisonnement par l'absurde.
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Démontrez que pour tout entier nn, n3−nn^3 - n est divisible par 6 en utilisant un raisonnement par disjonction de cas.
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Utilisez un raisonnement par analyse-synthèse pour trouver les solutions réelles de l'équation x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0.
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Montrez que la négation de '(xleq1)(x \\leq 1) ET (xgeq−1)(x \\geq -1)' est '(x>1)(x > 1) OU (x<−1)(x < -1)' en utilisant les lois de De Morgan.
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Prouvez que si a<ba < b et c<dc < d, alors a+c<b+da + c < b + d en utilisant la transitivité de l'inégalité.
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Démontrez que l'équation x2+y2=0x^2 + y^2 = 0 n'a qu'une seule solution réelle en utilisant un raisonnement par l'absurde.
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Prouvez que si aa et bb sont deux entiers consécutifs, alors l'un des deux est pair et l'autre impair.
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Montrez que si aa divise bb et bb divise cc, alors aa divise cc, en utilisant la définition de la divisibilité.
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Comment montrer qu'une fonction ff n'est pas la fonction nulle ?
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Comment exprimer mathématiquement que ff possède un minimum ?
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Quelle est la négation de 'tout entier naturel est le carré d'un entier naturel' ?
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Comment prouver que forallxinEquadP(x)\\forall x \\in E \\quad P(x) est faux ?
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Comment démontrer exists!xinEquadP(x)\\exists!x \\in E \\quad P(x) ?
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Quelle est la différence entre existsxinmathbbRquadforallyinmathbbRquadP(x,y)\\exists x \\in \\mathbb{R} \\quad \\forall y \\in \\mathbb{R} \\quad P(x,y) et forallyinmathbbRquadexistsxinmathbbRquadP(x,y)\\forall y \\in \\mathbb{R} \\quad \\exists x \\in \\mathbb{R} \\quad P(x,y) ?
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Comment prouver que a=ba=b si existsninmathbbNquada=bn\\exists n \\in \\mathbb{N} \\quad a=bn et existsminmathbbNquadb=am\\exists m \\in \\mathbb{N} \\quad b=am ?
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Comment montrer qu'un réel positif xx vérifiant forallvarepsilon>0quadxleqslantvarepsilon\\forall \\varepsilon>0 \\quad x \\leqslant \\varepsilon est nécessairement nul ?
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Quelle est la négation de forallxinEquad(A(x)LeftrightarrowB(x))\\forall x \\in E \\quad (A(x) \\Leftrightarrow B(x)) ?
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Comment prouver qu'une fonction affine ff est uniquement déterminée par f(a)=cf(a)=c et f(b)=df(b)=d avec aneqba\\neq b ?
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