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MPSI/PCSI
Eˊnoncer le theˊoreˋme dela bijection reˊciproque.
Soit f:I⟶R, avec I unintervalle de R.On suppose que f est continueet strictement monotone sur I. Alors f deˊfinit une bijection f~de I sur f(I). De plus, f~−1 est continue,strictement monotone de meˆmemonotonie que f.
Donner le lien entrel’injectiviteˊ et la strictemonotonie.
Soit f:E⟶R une fonction. Si f est strictementmonotone, f est injective. Attention, la reˊciproqueest fausse en geˊneˊral.
Meˊthode :Soit f:[−23,+∞[⟶R tel que :f(x)=x2+3x−7
Comment montrer, sans utiliserle theˊoreˋme des valeursintermeˊdiaires, que l’eˊquationf(x)=π admet une et uneunique solution ?
f est continue et strictementmonotone sur [−23,+∞[ avecf(−23)<0<π. D’apreˋs le theˊoreˋme de labijection reˊciproque, f induitdonc une bijection, doncl’eˊquation a une et une uniquesolution.
Exprimer en termes dequantificateurs le fait que : f:E⟶R est majoreˊe,puis minoreˊe, puis borneˊe,et donner la deˊfinition d’unmajorant et d’un minorant de f.
- On dit que f est majoreˊe si : ∃M∈R,∀x∈E,f(x)⩽M.Un tel reˊel M est appeleˊ unmajorant de f.
- On dit que f est minoreˊe si : ∃m∈R,∀x∈E,f(x)⩾m.Un tel reˊel m est appeleˊ unminorant de f.
- On dit que f est borneˊe si fest aˋ la fois majoreˊe etminoreˊe, i.e. si :∃K⩾0,∀x∈E,∣f(x)∣⩽K.
Soit f:E⟶R et a∈E. Exprimer en termes dequantificateurs le fait quea soit un minimum, puisun maximum de f.
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i,j). Soit f:E⟶R. Que dire du graphe dex⟼−f(x) et dex⟼f(−x) par rapportaˋ celui de f ?
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i,j). Soient f:E⟶R, a∈R. Que dire du graphe de x⟼f(x)+a et dex⟼f(x+a) par rapportaˋ celui de f ?
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Soit E un ensemble symeˊtriquepar rapport aˋ 0, i.e. tel que : ∀x∈E,−x∈E. Donner la deˊfinition d’unefonction paire, et d’unefonction impaire sur E.
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Meˊthode :Deˊterminer la pariteˊ (fonctionpaire ou impaire) eˊventuelledes fonctions suivantes : f:x⟼x2−3,g:x⟼−2x3+3x−5h:x⟼x2+3x+6.
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Meˊthode :Soit T>0.Soit f:E⟶R. Que signifie de dire quef est T-peˊriodique ?
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Soit f:E⟶R. Donner la deˊfinitiond’un point fixe de f.
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Qu'est-ce que le graphe d'une fonction f:XrightarrowmathbbR ?
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Définition d'une fonction paire
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Définition d'une fonction impaire
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Qu'est-ce qu'une fonction T-périodique ?
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Définition d'une fonction croissante
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Définition d'une fonction strictement croissante
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Qu'est-ce qu'une fonction monotone ?
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Propriété de la composition de fonctions monotones
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Qu'est-ce qu'une fonction majorée ?
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Qu'est-ce qu'une fonction bornée ?
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Définition du maximum d'une fonction
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Propriété d'une fonction strictement monotone
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Définissez la fonction sinus hyperbolique (sh).
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Définissez la fonction cosinus hyperbolique (ch).
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Quelle est la parité de la fonction sinus hyperbolique ?
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Quelle est la parité de la fonction cosinus hyperbolique ?
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Donnez la dérivée de la fonction sinus hyperbolique.
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Donnez la dérivée de la fonction cosinus hyperbolique.
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Quelle relation fondamentale lie ch et sh ?
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Exprimez ex en termes de ch et sh.
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Exprimez e−x en termes de ch et sh.
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Définissez la fonction tangente hyperbolique (th).
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Quel est l'ensemble de définition de la fonction th ?
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Quel est l'ensemble image de la fonction th ?
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Quelle est la parité de la fonction tangente hyperbolique ?
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Donnez la dérivée de la fonction tangente hyperbolique.
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Soit a et b deux réels positifs tels que a ≤ b. Montrez que raca2+b2a+bleqracb2a.
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Démontrez que pour tout x réel, ∣x∣=sqrtx2.
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Soit a1,...,an des réels positifs. Si l'un d'entre eux est strictement positif, que peut-on dire de leur somme ?
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Comment exprimer max(a,b) et min(a,b) en fonction de a, b et ∣b−a∣ ?
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Montrez que si A et B sont deux parties majorées de R, alors A ∪ B est majorée.
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Prouvez que toute partie finie non vide de R admet un maximum par récurrence.
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Comment démontrer que ∣xy∣=∣x∣∣y∣ pour tous réels x et y ?
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Donnez une caractérisation d'une partie bornée de R en utilisant la valeur absolue.
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Comment peut-on majorer efficacement une somme de termes positifs ?
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Quelle technique peut-on utiliser pour établir une inégalité complexe ?
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Soit f une fonction paire. Comment se comporte f(-x) par rapport à f(x) ?
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Si f est une fonction T-périodique, que pouvez-vous dire de f(x+T) ?
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Comment le graphe d'une fonction impaire se comporte-t-il par rapport à l'origine ?
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Si f est strictement croissante sur [a,b] et g est strictement décroissante sur f([a,b]), quelle est la monotonie de g○f sur [a,b] ?
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Si f est une fonction bornée sur R, que pouvez-vous dire de ∣f∣ ?
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Si f et g sont deux fonctions paires, quelle est la parité de f+g ?
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Comment se comporte le graphe d'une fonction 1-périodique ?
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Si f est strictement croissante sur R et g est strictement croissante sur f(R), que pouvez-vous dire de l'injectivité de g○f ?
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Si f est une fonction T-périodique, que pouvez-vous dire de f(x+kT) où k est un entier ?
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Si f est une fonction bornée sur R et g est une fonction continue sur f(R), que pouvez-vous dire de g○f ?
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Comment se comporte le graphe d'une fonction strictement monotone ?
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Si f est une fonction paire et g est une fonction impaire, quelle est la parité de f○g ?
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Si f est une fonction T-périodique et strictement croissante sur [0,T], que pouvez-vous dire de son comportement global ?
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Calculez sh(2x) en fonction de sh(x) et ch(x).
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Exprimez ch(2x) en fonction de sh(x) et ch(x).
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Quelle est la primitive de ch(x) ?
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Calculez int01sh(x)dx.
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Trouvez la solution de l'équation différentielle y′′−y=0.
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Exprimez th(x) en fonction de ex.
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Calculez la limite de th(x) quand x tend vers l'infini.
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Quelle est l'expression de ch−1(x) pour xgeq1 ?
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Résolvez l'équation sh(x)=1.
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Calculez fracddx(th−1(x)) pour ∣x∣<1.
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Trouvez la valeur de x telle que ch(x)=2.
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Exprimez sh(x+y) en fonction de sh(x), ch(x), sh(y) et ch(y).
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