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MPSI/PCSI
Quelle est l’expression de lasolution geˊneˊrale de l’eˊquationdiffeˊrentielle lineˊaire d’ordre 2,normaliseˊe, sans second membre : (E):y′′+ay′+by=0 ?
On note Δ le discriminant del’eˊquation caracteˊristique associeˊeaˋ (E), et r1,r2 les deux solutions,eˊventuellement confondues, si ellesexistent.
- Si Δ>0,y:x↦λexp(r1x)+μexp(r2x)
- Si Δ=0,y:x↦(λx+μ)exp(r1x)
- Si Δ<0,soit r1=a+ib,y:x↦(λcos(bx)+μsin(bx))exp(ax)
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme desuperposition pour les eˊquationsdiffeˊrentielles lineˊaires d’ordre 1 ?
Pour n=2.Soit f1,f2 des fonctions continuessur R.
Soit λ1,λ2 des reˊels.
Si x1,x2 sont des solutions deseˊquations diffeˊrentielles :(E1):y′′+ay′+by=f1(x)(E2):y′′+ay′+by=f2(x), alors λ1x1+λ2x2 est solution dey′′+ay′+by=λ1f1(x)+λ2f2(x).
Ce principe se geˊneˊralise aˋ n≥3.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme de Cauchysur les eˊquations diffeˊrentiellesd’ordre 2 ?
Le probleˋme de Cauchy (E):y′′+ay′+by=f(x)et y(x0)=α,y′(x0)=β admet une unique solution.
Meˊthode : Comment reˊsout-on une eˊquationdiffeˊrentielle (E) d’ordre 2normaliseˊe avec secondmembre ?
- On reˊsout d’abord l’eˊquationhomogeˋne (sans second membre)associeˊe.- On cherche une solutionparticulieˋre de (E)
La solution geˊneˊrale de (E) est lasomme d’une solution particulieˋrede (E) et de la solution geˊneˊralede l’eˊquation homogeˋne associeˊe.
Meˊthode :Sous quelle forme doit-onchercher une solution particulieˋrede l’eˊquation diffeˊrentielle lineˊaire d’ordre 2 avec second membrede la forme exponentielle : (E):y′′+ay′+by=exp(mx)
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Meˊthode :Sous quelle forme doit-onchercher une solution particulieˋrede l’eˊquation diffeˊrentielle lineˊaired’ordre 2 avec second membrede la forme sinus ou cosinus : (E1):y′′+ay′+by=cos(mx)(E2):y′′+ay′+by=sin(mx)
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Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre ?
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Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de l'équation homogène y′+a(x)y=0 ?
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Comment s'écrivent les solutions de l'équation homogène y′+a(x)y=0 ?
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Qu'est-ce que le principe de superposition ?
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En quoi consiste la méthode de variation de la constante ?
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Qu'est-ce qu'un problème de Cauchy ?
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Que dit le théorème de Cauchy ?
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Quelle est la forme générale de l'équation différentielle linéaire du premier ordre en sciences physiques ?
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Comment s'écrivent les solutions de l'équation y′+frac1tauy=fracAtau avec A constant ?
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Que représente tau dans l'équation y′+frac1tauy=fracA(t)tau ?
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Comment se comporte la solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre constant lorsque t tend vers l'infini ?
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Dans une équation différentielle y′+frac1tauy=fracA(t)tau, que représente tau ?
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Comment détermine-t-on une solution particulière pour une équation différentielle avec un second membre sinusoïdal ?
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Quelle est la forme générale des solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre sinusoïdal ?
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Dans le cas d'un second membre sinusoïdal, comment évolue le déphasage de la solution en régime permanent par rapport à omegatau ?
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Comment peut-on prouver qu'une solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre est paire ?
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Dans un circuit RC, quelle grandeur physique joue le rôle de tau dans l'équation différentielle ?
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Pour une réaction chimique où la vitesse dépend linéairement de la concentration d'un réactif, quelle forme prend l'équation différentielle ?
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Comment le temps caractéristique tau influence-t-il la vitesse à laquelle le système atteint son état d'équilibre ?
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Dans le modèle de chute libre avec frottements proportionnels à la vitesse, quelle est l'expression de tau en fonction des paramètres physiques ?
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Comment peut-on interpréter physiquement le second membre dans une équation différentielle linéaire du premier ordre ?
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Quelle méthode utilise-t-on pour trouver une solution particulière lorsqu'on ne trouve pas de solution évidente ?
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