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MPSI/PCSI
Rappeler la deˊfinition de fest deˊrivable en un point x0
f est deˊrivable en un point x0si la fonction g:Df\{x0}↦R deˊfinie par g(x)=x−x0f(x)−f(x0)admet une limite finie en x0.
Rappeler la caracteˊrisation dede deˊrivabiliteˊ aˋ l’aide d’undeˊveloppement limiteˊ.
f est deˊrivable en un point x0⇔ elle admet un deˊveloppementlimiteˊ aˋ l’ordre 1 en x0. Et alors : f(x+x0)=f(x)+f′(x0)h+ϵ(h)houˋ ϵ(h)h→00.
Par quelles opeˊrations ladeˊrivabiliteˊ est-elle stable ? Meˆme question pour lesfonctions de classe Ck.
La deˊrivabiliteˊ est stable parcombinaison lineˊaire, produit,quotient, composition etreˊciproque. De meˆme pour les fonctionsde classe Ck.
Rappeler la formule de Leibnizsur la deˊriveˊe n-ieˋme d’unproduit de fonctions deˊrivables.
Soit f,g deux fonctionsn fois deˊrivables. (fg)(n)=∑i=0n(kn)f(i)g(n−i)
Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour calculer ladeˊriveˊe n-ieˋme d’une fonction f ?
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Meˊthode :Que faire pour reˊsoudre uneeˊquation fonctionnelle danslaquelle la fonction inconnueest deˊrivable ?
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Qu’est-ce qu’un pointcritique d’une fonction fde classe C1 ?
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Quelle est une conditionneˊcessaire pour que le point asoit un extremum local de lafonction deˊrivable ?
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Meˊthode :Comment deˊtermine-t-on laborne infeˊrieure (ou supeˊrieure)d’une fonction deˊrivable ?
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Qu'est-ce qu'un maximum local pour une fonction f?
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Qu'est-ce qu'un point critique d'une fonction?
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Énoncez le théorème de Rolle
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Énoncez le théorème des accroissements finis
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit croissante?
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Quelle est la condition pour qu'une fonction dérivable soit constante sur un intervalle?
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Énoncez l'inégalité des accroissements finis
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Qu'est-ce qu'une fonction M-lipschitzienne?
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Énoncez la condition de convergence pour une suite définie par un+1=f(un)
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Que dit le théorème de la limite de la dérivée?
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Comment démontrer que ln(1+x)leqx pour tout x>−1 ?
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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer que ∣sin(x)∣leq∣x∣ pour tout xinmathbbR ?
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Comment prouver la convergence d'une suite définie par un+1=f(un) vers un point fixe c de f ?
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Comment déterminer si la fonction f(x)=x3sin(1/x) pour xneq0 et f(0)=0 est dérivable en 0 ?
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Comment prouver que sqrtx−ln(1+x) admet un minimum sur mathbbR+∗ ?
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Comment utiliser le théorème de Rolle pour montrer qu'une équation de la forme ax3+bx+c=0 a au plus trois solutions réelles ?
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Comment prouver que la fonction f(x)=xex est bijective sur mathbbR ?
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Comment utiliser le théorème des accroissements finis pour estimer ∣sqrt2−frac107∣ ?
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Comment prouver que arcsin(x)+arccos(x)=fracpi2 pour tout xin[−1,1] en utilisant la dérivation ?
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Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer que ∣ex−1∣leq∣x∣e∣x∣ pour tout xinmathbbR ?
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