Cours de Complexes en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Complexes

Parties réelle et imaginaire

Ce cours porte sur les complexes et vise à vérifier les affirmations suivantes. Premièrement, en utilisant la forme algébrique, la somme de la partie réelle des nombres complexes est égale à la partie réelle de la somme. Deuxièmement, la partie réelle de iz est égale à moins la partie imaginaire de z. Troisièmement, pour tout lambda appartenant à R, la partie imaginaire de lambda z est égale à lambda fois la partie imaginaire de z. Quatrièmement, la partie imaginaire du produit de nombres complexes ai n'est pas égale au produit des parties imaginaires. Enfin, si z est différent de 0, 1 sur z est égal au conjugué de z divisé par le module au carré de z, et la partie imaginaire de z divisé par w n'est pas égale à la partie imaginaire de z divisé par la partie imaginaire de w.

Forme algébrique

Cet exercice consiste à transformer des complexes sous forme algébrique en utilisant la technique de multiplication par le conjugué du dénominateur lorsque des i apparaissent à ce niveau. Ensuite, le module carré du complexe est obtenu en faisant la somme des carrés des parties imaginaires et réelles, ce qui permet de simplifier les fractions et de rassembler les résultats pour obtenir la forme algébrique finale. La vidéo montre également une méthode alternative, consistant à poser des variables et à utiliser des symétries pour résoudre le calcul.

Module

Cet exercice en mathématiques démontre que pour tout u et v dans C, l'équation suivante est vraie : le module de u plus v au carré plus le module de u moins v au carré est égal à deux fois le module de u au carré plus le module de v au carré. La formule fondamentale utilisée est que le module de z au carré est égal à z fois son conjugué. Pour prouver cette équation, on part du membre de gauche en utilisant cette formule pour développer et simplifier, puis réutilisons la formule pour arriver à notre résultat final. En conclusion, cette équation est vraie pour tout u et v dans C.