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Maths Spé

Géométrie

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Trouver l'équation d'un plan avec un vecteur normal

Dans ce cours, nous apprenons comment déterminer si trois points ABC définissent un plan dans l'espace. La seule condition pour que les points ne définissent pas un plan est qu'ils soient alignés. Pour éviter cela, nous pouvons vérifier si deux vecteurs formés par les points ABC sont collinéaires ou non. Nous proposons de calculer le vecteur AB et de voir s'il est égal à -AC. Si cela est le cas, alors les points sont alignés et ne définissent pas un plan. Par conséquent, il est important de vérifier les collinéarités lors de ce type d'exercices de géométrie pour éviter les fausses pistes. Ensuite, nous abordons la détermination d'une équation cartésienne du plan défini par les trois points ABC. Pour cela, nous cherchons d'abord un vecteur normal au plan. Ensuite, nous utilisons les produits scalaires entre le vecteur normal et les vecteurs AB et AC pour obtenir deux équations. Ces équations nous permettent de trouver une famille de vecteurs normaux possibles pour le plan. Ensuite, nous pouvons choisir un vecteur normal spécifique pour obtenir l'équation cartésienne du plan. En résumé, pour déterminer si trois points définissent un plan, nous vérifions les collinéarités des vecteurs formés par ces points. Pour trouver l'équation cartésienne du plan, nous cherchons d'abord un vecteur normal en utilisant les produits scalaires, puis nous obtenons une famille de vecteurs normaux possibles avant de choisir un vecteur spécifique. Il est important d'aborder ces exercices avec une approche méthodique pour éviter les fausses pistes et trouver rapidement les résultats attendus.

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Géométrie

Terminale

Trouver un plan avec 3 points

Dans ce cours, nous apprenons deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan passant par un certain point avec un vecteur normal donné. La première méthode consiste à utiliser une équation générale du type "ax + by + cz + d = 0", où les coordonnées x, y et z sont déterminées par le vecteur normal abc. Cette méthode est utilisée de manière instinctive et ne requiert pas une démonstration formelle. La deuxième méthode, que je préfère, implique de comprendre la définition profonde d'un vecteur normal. Un plan est défini par un point donné et un vecteur normal qui est orthogonal au plan. Ainsi, tout point situé dans le plan a un vecteur gm, reliant le point m au point donné, qui est orthogonal au vecteur normal. En utilisant la propriété que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, nous pouvons écrire une équation du type "x-1 * 0 + y-1 * (-3) + z-1 * 5 = 0" pour trouver l'équation cartésienne du plan. En résumé, il existe deux méthodes pour trouver une équation cartésienne d'un plan. La première méthode est basée sur une équation générale, tandis que la deuxième méthode s'appuie sur la compréhension de la définition d'un vecteur normal.